上極限の不等式の証明

質問

数列{a(n)}{b(n)}において、b(n+1)>b(n)(n:自然数)かつ、limb(n)=∞のとき、
limsupa(n)/b(n)≦limsup{a(n+1)-a(n)}/{b(n+1)-b(n)}
(lim,limsup は全て n→∞)
という問題がどうしても解けません＞＜）。
方針すらわかりません。どなたかわかる方教えてください。

回答No.1

grothendieck

limsup{a(n+1)-a(n)}/{b(n+1)-b(n)} = L が有限であるとします。すると任意のε＞0 に対し適当な番号Ｎをとるとn≧Ｎ⇒
{a(n+1)-a(n)}/{b(n+1)-b(n)} ＜ L + ε
よって
　{a(n+1)-a(n)} ＜ (L + ε)(b(n+1)-b(n))
したがってm>N となる任意のmについて
　{a(m)-a(N)} ＜ (L + ε)(b(m)-b(N))
ある番号以上でb(m)>0 として良いから両辺をb(m)で割ると
　{a(m)-a(N)}/b(m) ＜ (L + ε)( 1 -b(N)/b(m))
m→∞ でa(N)/b(m)、b(N)/b(m)は0に収束するので
　limsup a(n)/b(n)≦L