ε-N論法を用いた極限の証明について

質問

数列の極限の証明に関する質問です。

lim[n→∞]b(n)=1/βならばlim[n→∞]1/b(n)=1/βを示したいのですが、わかりません。解説をお願いいたします。

数列{a(n)}に対して
lim[n→∞]a(n)=αとは、
「任意の実数ε(>0)に対し、"n≧Nならば|a(n)-α|<ε"を満たす自然数Nが存在する」ことを意味するものとします。

仮定:∀ε₀>0に対し、"n≧N₁ならば|b(n)-β|<ε₀"となるNが存在する。
これから、
結論:∀ε>0に対し、"n≧Nならば|1/b(n)-1/β|<ε"となるNが存在する。

Nをとりあえず、N₁以上とし、
|1/b(n)-1/β|=|{(β-b(n)}/βb(n)|=|b(n)-β|/(|β||b(n)|≦ε₀/|β||b(n)|

ここまで、自分で書いてみたのですが、先をどうすればよいのかがわかりません。解答をお願いいたします。

回答No.1

ddtddtddt · ベストアンサー

方向はあってると思います。後は、全体の状況を眺め渡す事だと思います。

　(1)まず1/b(n)は常に値を持つのですから、任意のnでb(n)≠0です。
　(2)同様に1/βも値を持つので、β≠0です。
　(3)またb(n)はβに収束するので、有限のnでb(n)が±∞に逝っちゃう事もありません。

　そうすると|1/b(n)|は最小値を持つはずだ、というイメージは湧きませんか？(^^;)。

　(1)～(3)より言える事は|1/b(n)|は有界であり、その下界の上限すなわち|1/b(n)|の下限bmin＞0が存在する、です。bminを|1/b(n)|の最小値と直接的に言えないのは、|1/b(n)|が|1/β|への単調減少列で、極限が|1/β|だったとかいうケースもあり得るからです。

　上記を認めれば（いちおう証明して下さいね(^^;)）、

　　|1/b(n)-1/β|=|b(n)-β|/(|β|*|b(n)|≦|b(n)-β|/(|β|*bmin|)

が成り立つので、

　　任意のε_1＝ε/(|β|*bmin|)

に対して・・・、とやれば良い事になります(^^)。

お礼

ありがとうございます。直感的でわかりやすい回答で助かりました。

回答No.2

jcpmutura

β≠0
だから
|β|/2>0
だから
任意のεに対して
ε'=min{(ε|β|^2)/2,|β|/2}
となるε'に対して
あるN_1が存在して
n≧N_1となる任意の自然数nに対して

|b(n)-β|<ε'≦|β|/2
だから
0<|β|/2=|β|-|β|/2≦|β|-ε'<|b(n)|<|β|+ε'
0<|β|/2<|b(n)|
だから両辺に2/{|β||b(n)|}をかけると
1/|b(n)|<2/|β|
両辺にε'/|β|をかけると
ε'/{|β||b(n)|}<2ε'/|β|^2
だから

|1/b(n)-1/β|
=|{β-b(n)}/{βb(n)}|
=|b(n)-β|/{|β||b(n)|}
<ε'/{|β||b(n)|}
<2ε'/|β|^2
≦2(ε|β|^2)/2/|β|^2)
=ε

お礼

ありがとうございます。大変、参考になります。私が未熟なため、まだ理解できないところがあるため、ゆっくり内容を理解していきたいと思います。