２次関数の問題

質問

ｘ＋ｙ＝１のとき、2x^2+3y^2の最小値を求めよ

考え方～解答、解答をみて、やり方を学ばせてもらいますね。

回答No.5

rei00 · ベストアンサー

重箱の隅をつつく様で申し訳ありませんが，「x=3/5, y=2/5」で「2x^2+3y^2」を計算すると 6/5 になりますが・・・。という事で見直してみると，皆さまの回答に以下のミスがあるようです。

> =5(x^2-6x/5+3/5)
> =5(x-3/5)^2+66/25
　　5(x^2-6x/5+3/5)
　= 5(x-3/5)^2-5(3/5)^2+5(3/5)
　= 5(x-3/5)^2+6/5

> =5(x-3/5)^2+3-9/5
> =5(x-3/5)^2+7/5
　3-9/5 = 6/5 ですから，
　5(x-3/5)^2+3-9/5 = 5(x-3/5)^2+6/5 です。

　という事で，「x = 3/5, y = 2/5 の時に最小値 6/5 をとる。」が答えでしょうか。

回答No.6

hinebot

#5さんの仰るとおりでした。m( )m

>ここで計算間違えてます。
>=5(x-3/5)^2+3-9/25
>ですよ。

なんて、偉そうに指摘しながら間違ってたんですからね。

=5(x-3/5)^2+3-5*(9/25)
でしたね。失礼しました。

回答No.4

hinebot

まず、#3の方、
>=5x^2-6x+3
>=5(x-3/5)^2+3-9/5

ここで計算間違えてます。
=5(x-3/5)^2+3-9/25
ですよ。

それから、解き方は既に皆さん答えられてますが、
#1の方も#3の方も
>x=3/5の時に最小値66/25
で終わってますが、問題に特に指定がない場合は、

x=3/5のとき、x+y=1 より、y=2/5
よって、
x=3/5,y=2/5の時に最小値66/25をとる。

という風に、x,y両方の値を示さないといけません。

回答No.3

fushigichan

こんにちは。まずxとyのどちらかに統一します。
x+y=1であるから、y=1-x
求める値をSとすると

S=2x^2+3y^2
=2x^2+3(1-x)^2
=2x^2+3x^2-6x+3
=5x^2-6x+3
=5(x-3/5)^2+3-9/5
=5(x-3/5)^2+7/5

よってSはx=3/5のとき最小値7/5となる。

変数が二つあると、求めにくいですから、
一つの変数の二次関数の最小値をかんがえればいいです。
がんばって！！

回答No.2

yuichi777rf

(考え方）
最小値を求めたい
　　　　↓
関数をつかわなくてはいけない
　　　　↓
2x^2+3y^2は二つ文字があるので関数で扱うとめんどくさい
　　　　↓
じゃあ文字を１つにする。

というわけでｘ＋ｙ＝１をどっちかの文字について解いて右の式に代入します。
そしたら二次関数になるので簡単に最小値をだせます。
計算はＮｏ１の回答の人がやってくれているのでそっちを参考にしてください(笑）

回答No.1

mokonoko

y=1-xなので

2x^2+3y^2
=2x^2+3(1-x)^2
=5x^2-6x+3
=5(x^2-6x/5+3/5)
=5(x-3/5)^2+66/25
よって
x=3/5の時に最小値66/25となる

ｙを消去して２次関数を得れば、下に凸な関数であると気がつきます。
微分が使えれば傾き＝０で得る方法もありますが、xの１次項を２で割った
値で整理していけば良いでしょう。