三角関数の問題です

質問

よろしくお願いします

x=√2sin(t+π/4)、y=x^2-ax+4、-1≦x≦√2

t=π/12のときにyが最小値をとるとする。そのときのaの値とyの最小値を求めよ

回答No.4

noname#199771 · ベストアンサー

＞t=π/12のときにyが最小値をとる

x|t=π/12=√(3/2)です。　・・・★

y=(x-a/2)^2+4-(a^2)/4なので、

(1)a/2≧√2のとき、
yはx=√2のとき最小値を取ります。
これは★に反します。

(2)a/2≦-1のとき、
yはx=-1のとき最小値を取ります。
これはやはり★に反します。

というわけで、残ったケース
(3)-1<a/2<√2のとき、
yはx=a/2のときかつその時に限り最小値を取ります。
したがってa/2=√(3/2)が必要です。
∴a=√6
x=a/2=(√6)/2のとき、y=4-((√6)^2)/4=5/2

お礼

回答ありがとうございます！

回答No.3

Water_5

t=π/12のときにyが最小値をとる」ことから
x=√2sin(t+π/4)
=√2sin(π/12+π/4)
=√3/√２・・・・・・（１）

一方
y=x^2-ax+4
=（x-a/2）＾２-(a/2）^2＋４・・・・・(2)

（２）式はx=a/2の時、すなわち、√3/√２=a/2のとき
すなわち、a=√6のとき
最小値をとる。

お礼

回答ありがとうございます！

回答No.2

info22_

-1≦x≦√2からtは第３象限を除く角つまり
2nπ-π/2≦t≦2nπ+π(nは任意の整数)
であることが判ります。
t=π/12はこの範囲に含まれます。
このとき
x=√2sin(t+π/4)=√2sin(π/12+π/4)
=√2sin(π/3)=√2*√3/2=√6/2
で確かに-1≦x≦√2を満たしています（確認）。

問題の「t=π/12すなわちx=√6/2（-1≦x≦√2を満たす）のときyは
y=(3/2)-a√6/2+4=(11-a√6)/2
は最小値をとる」ということですが

aの値が正で大きくなればなるほどそれにつれ、yの値が限りなく小さくなりますので最小値は存在しません。最小値を与えるaの値も求めることはできません。

問題のチェックをお願いします。

問題を
「対称軸x=a/2のときのyが最小値y=(16-a^2)/4
であり、この時t=π/12のときすなわちx=√6/2であるとする」
とするのであれば
y=(x-(a/2))^2 +(16-a^2)/4　なので
√6/2=a/2 ⇒ a=√6
のとき yの最小値=(16-6)/4=5/2
となります。

＃[実際はaの範囲に制限がないのでx=a/2でのyの値(16-a^2)/4]が
任意のaに対してyの最小値とは言えない。それをt=π/4(x=√6/2)でyが最小値をとるとしたところが問題の良くないと言えますね。

お礼

回答ありがとうございます！

回答No.1

Tacosan

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