二次関数の最大・最小についての問題です。

質問

aは定数とする。次の問いに答えよ。
関数y=x^2+(2-2a)x+a^2 (-1≦x≦2)の最小値を求めよ。
という、問題です。

模範解答では、
a<0のときx=-1で最小値a^2+2a-1
0≦a≦3のときx=a-1で最小値2a-1
3<aのとき、x=2で最小値a^2-4a+8
となっています。
この答えは、正しいのでしょうか。
解説をお願いします。

回答No.3

noname#212313 · ベストアンサー

> y=x^2+(2-2a)x+a^2 (-1≦x≦2)

　こういう式では、y=(x-b)^2+cという形にしてしまうのが簡単です（そのまま微分しても分かるが、かなり面倒臭い）。y=(x-b)^2+cだと、x=bのとき最小値cだと分かります。

　x^2+(2-2a)x+a^2
＝x^2+(2-2a)x+((2-2a)/2)^2-((2-2a)/2)^2+a^2
＝(x+(2-2a)/2)^2+((2-2a)/2)^2+((2-2a)/2)^2+a^2
＝(x+(2-2a)/2)^2-((2-2a)/2)^2+a^2
＝(x+(2-2a)/2)^2-(1-a)^2+a^2
＝(x+(2-2a)/2)^2-(1-2a+a^2)+a^2
＝(x+(2-2a)/2)^2-1+2a-a^2+a^2
＝(x+(2-2a)/2)^2-1+2a
＝(x+(1-a))^2+2a-1
＝(x-(a-1))^2+2a-1

　2乗の項は0以上であるので、(x+(1-a))^2＝0　∴x+(1-a)＝0の場合、最小値2a-1となる。

　x-(a-1)＝0
∴x＝a-1

　-1≦x≦2より、-1≦a-1≦2　∴0≦a≦3。

　従って、0≦a≦3のとき、最小値2a-1。―(1)

　0≦a≦3ではないとき、すなわちa＜0、または、3＜aのときは(x-(a-1))^2＞0であり、最小値が異なる。

　a＜0のとき、下に凸な2次関数z＝(x-(a-1))^2はx=a-1＜-1で最小値であるが、x=-1より小さい側になるため、-1≦x≦2より、x＝-1がyの最小になる。よって最小値は、与式にx＝-1を代入して、

　x^2+(2-2a)x+a^2
＝(-1)^2+(2-2a)(-1)+a^2
＝1-2+2a+a^2
＝-1+2a+a^2
＝a^2+2a-1　―(2)　（a＜0のとき）

　3＜aのとき、同様にして、-1≦x≦2より、x＝2がyの最小値を与えるので、

　x^2+(2-2a)x+a^2
＝2^2+(2-2a)・2+a^2
＝4+4-4a+a^2
＝8-4a+a^2
＝a^2-4a+8　―(3)　（3＜aのとき）

お礼

回答ありがとうございます。
参考させていただきます。

回答No.2

bran111

正しい。

中心軸X=a-1が変域の中(-1≦a-1≦2）にある場合と左(a-1<-1)にある場合と右にある場合
(2<a-1)に分けて考えれば自明でしょう。この程度の問題は軽くこなしましょう。

お礼

ありがとうございます。
とても参考になりました。

回答No.1

shintaro-2

>この答えは、正しいのでしょうか。

imnstkr さんはどう考えていますか？

二次関数を完全平方の形に変形して、
最小値について考えてみてください。

お礼

ありがとうございます。
参考にさせていただきます。