関数の問題

質問

aがすべての実数値をとって変化するとき、点P(a+1,2a)と放物線y=x^2+4上の点との最短距離を求めよ。
という問題です。

よくわからなかったので解答を見ました。しかしよくわかりませんでした。
解答の解説をお願いします。

x=a+1,y=2a　とする。
これより点Pの集合は　-2x+y+2=0　の直線になる。
この直線と放物線の点(t,t^2+4)　との距離は
|-2t+(t^2+4)+2|/√(-2)^2+1^2＝|(t-1)^2+5|/√5
したがって
t=1のとき最小で最小値√5

と書いてありました。
質問は2つあります。
(1)x=a+1,y=2a　とする。これより点Pの集合は　-2x+y+2=0　の直線になる。と書いてありますがどうして、このようになったのでしょうか？
(2)t=1のとき最小で最小値√5　と書いてありますが、どうしてt=1のときとわかるのでしょうか？
この2点を中心とした解説をお願いします。

回答No.3

take_5

又、ミスった。。。。。。。笑

＞それには、放物線y=x^2+4上の点Ｑ（α、2α-2）の接線と直線y＝2（x-1）が平行になればよい。

　　　　　　　　　　↓

それには、放物線y=x^2+4上の点Ｑ（α、α＾2＋4）の接線と直線y＝2（x-1）が平行になればよい。

回答No.2

take_5

別解を示しておく。

x＝a＋1、y＝2aより、2a＝y＝2（x-1）であるから、放物線y=x^2+4上の点Ｑと直線y＝2（x-1）との距離が最小であればよい。
それには、放物線y=x^2+4上の点Ｑ（α、2α-2）の接線と直線y＝2（x-1）が平行になればよい。
y´＝2α＝2であるから、α＝1で最小。
この時、点Ｑ（1、4）と直線y＝2（x-1）との距離は、ヘッセの公式より√5.

回答No.1

jo-zen

（１）については、

　　　　x=a+1,y=2a　→　-2x+y+2=0　
代入して検算すれば数式が成り立つでしょ。どうしてこの式が導き出されるかというと、a=(1/2)y ですから、x=(1/2)y+1 となり、これを整理したものです。当然直線をあらわす式です。

（２）については、

|(t-1)^2+5|　は正で、(t-1)^2＞＝0であり、これが正ならば、値は大きくなりますので、最小値はt-1=0 つまり t=1 の場合になります。

補足

代入して計算して数式が成り立つことがわかりました。
しかし、
問題で、aがすべての実数値をとって変化するとき、点P(a+1,2a)・・・
というだけで、どうして、直線の式になるのでしょうか？
教えてください。