全射の定義

質問

f:A→Aが全射であることの定義ですが
「任意の元a∈Ａに対して、a=f(α)を満たす元α∈Ａが存在するときfを全射という」
「任意の元a∈Ａに対して、A=f(A)が成り立てばｆは全射である」
この２つの書き方はどちらも合っているのでしょうか？
それとも意味が違ってるのでしょうか？教えてほしいです。よろしくお願いします。

回答No.3

monmonx2 · ベストアンサー

意味が違っています．一番の問題点は，

f: A->A

っていうふうに写す側も写される側もAにするからややこしいんだよ．これは，問題なんかで出てくる特殊な場合でしょう．

f: A->B

としておいて，全射とは，任意の「b in B」に関して，「f(a) = b」となる 「a in A」があるって意味です．

つまり，Bのどんな要素も，関数fによって，Aのある要素(複数可)から何らかの形で写されていると言う意味でしょう．だから，

＞「任意の元a∈Ａに対して、a=f(α)を満たす元α∈Ａが存在するときfを全射という」

というのは変じゃない．なんで両方元Ａになるわけ！？「任意のa∈Ａに対して」（正確には写され先のＡ）というならわかるけど，一般に人に説明するとき，Aを2種類書くのは表現が悪い．

写像の概念を分っていないですね．書き写しても駄目だぞ．頭の中にイメージできるようでないと．

参考のURLで要勉強．

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E5%B0%84

お礼

確かに写像に関してイメージができてません。
参考URLで勉強したいと思います。ありがとうございました。

回答No.2

arrysthmia

「任意の元a∈Ａに対して、A=f(A)が成り立てばｆは全射である」
という書き方は、変です。
「A=f(A)が成り立てばｆは全射である」の文中に、aは登場しません。

集合AからBへの写像fが全射であることを表すのに、
「Bの任意の元bに対して、b=f(a)を満たすAの元aが存在するときfを全射という」
と書いても、
「B=f(A)が成り立てばｆは全射である」
と書いても、意味は同じです。質問は、A=Bの場合ですね。

f(A)の定義は、(正式には文中で明記することが必要ですが、慣習的に)
b∈f(A) ⇔ ∃a∈A, b=f(a) です。
これは、要するに、ひとつめの書き方を論理式でかいたダケです。

回答No.1

Tacosan

集合 A に対して f(A) = { f(a) | a ∈ A } と定義しているだろうから同値.
もちろん前者が個々の要素に目を向けているのに対して後者は集合全体を見てるから視点は違うけど.