「定義されている」の意味について

質問

関数f(x)が、x=aの近傍で定義されているとする。

という文章があった時、関数f(x)が「定義されている」とはどのような意味なのでしょうか？
関数の具体的な数式の事だろうと考えていたのですが、教科書の説明文に、「x=aでは
定義されていても、定義されていなくてもよい。」との記述があり混乱しています。
関数が定義されているとは、f(x)がx=aで値を持つという意味なのでしょうか？
近傍という言葉もいまいちピンときません。

回答No.4

jmh

ｘの近傍は、ｘを元として含む（∈）開集合を部分集合として含む（⊆）集合です。なので、大っきい方がｘの近傍になりやすい感じです。このことがピンときません？

お礼

ご回答ありがとうございます。

用語も、言いまわしも、いまいちイメージがわかずピンときません・・・
勉強不足ですね、もうすこし深く勉強してみます。

ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

貴方の教科書や A No.1 の意味で言うときには、
「近傍」ではなく「除外近傍」と呼ぶのが正確ですが、
近傍も除外近傍も区別なく「近傍」と呼んでしまうような
粗雑な表現も、世間では多用されています。
人の書いたものを読むときには、間違いや不正確がないか
疑いながら読むことが大切です。教科書は、特に。

お礼

ご回答ありがとうございます。

「除外近傍」という言葉は初めて聞きました。これから調べてみます。
イメージ的には、x=aでf(x)が定義できない関数であっても、その点を除外
するならば、関数の定義が可能であるといった感じでしょうか？

教科書でも疑いながら読むことも必要なんですね、ありがとうございました。

回答No.2

koko_u_u

> 関数f(x)が「定義されている」とはどのような意味なのでしょうか？
関数というのは実数と実数の対応であれば何でもよいので、数式で定義されているとは限りません。

> 関数が定義されているとは、f(x)がx=aで値を持つという意味なのでしょうか？
その通りです。

> 教科書の説明文に、「x=aでは定義されていても、定義されていなくてもよい。」

数学的には x = a の「近傍」というのは a を含む開集合 U のことなので、実数で言いかえると
おおむね、ある正数εがあって、区間 (a - ε, a + ε) で定義されていると考えて下さい。

なので、その教科書の説明はかなりいい加減です。高校の教科書なら仕方ないという意見もありましょうが。

お礼

ご回答ありがとうございます。
関数が定義されるとは、f(x)が値を持つという意味でよいのですね。

ご想像の通り高校の教科書です。教科書には厳密な定義はしない旨
書かれてたのですが、分からない言葉が多く質問させて頂きました。
近傍に関してはもう少し勉強してみます。

ありがとうございました。

回答No.1

info22_

「x=aの近傍で定義されている」とは
文言の通りで、教科書のとおり
「x=aでは定義されていても、定義されていなくてもよい。」
しかし、「x≒a（x≠a)のxに対してはf(x)が値を持つ」
という意味でしょう。

「x=aの近傍で定義されている」関数f(x)の実例として
f(x)=|x-a|/(x-a)
f(x)=sin(x-a)/(x-a)
これらの関数f(x)は分母がゼロとなるx=aでは定義されていません。

しかし、
f(x)=|x-a|/(x-a)(x≠a), =0(x=a)
f(x)=sin(x-a)/(x-a)(x≠a), =1(x=a)
と定義すればf(x)は
「x=aの近傍で定義されている」かつ「x=aでも定義されている」
関数と言えます。

つまり教科書に説明されている通りということです。

お分かりになりましたか？

お礼

ご回答ありがとうございます。

例示までして下さり、ありがとうございます。f(x)=|x-a|/(x-a)(x≠a), =0(x=a)
ならば、f(x)が定義される事は分かります。しかし、f(x)=|x-a|/(x-a)においては、
x=aで定義されず、このような場合にも「f(x)はx=aの近傍で定義されている」
と表現して良いのでしょうか？

予め「f(x)は定義されている」の言いつつ、後に「x=aで、定義されても
されなくてもよい」とは、f(a)でも関数を定義出来なければ、最初の文
「f(x)は定義されている」がそもそも定義されていないんじゃないか？
と思った次第です。

ありがとうございました。