圏論:単射かつ全射であるのに、同型でない例

質問

圏論を勉強し始めたのですが、「mono(単射) かつ epi(全射)であるのに、iso(同型)でない例」を以下のように考えました。この考え方は正しいでしょうか？

対象 ABC と、射 f:A→B 、g:B→C 、 h=g・f と、自明な3つの恒等射 からなる圏において、

これらは圏の定義を満たす。

fはmono (∵ Aへの射はAの恒等射のみであり、一意)

fはepi (∵ Bからの射は2つ。BからCの射はgのみなので、一意。BからBへの射は恒等射のみなので一意。)

fはisoでない (∵ BからAは射が存在しない)

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

「自明な3つの恒等射」とはA,B,Cのことで、それが「3つ」だというのはA≠B、A≠Cだという意味でしょう。もしそうならば、なにしろBからAへの射がないんだから、fは同型射になりえない。良いと思いますけど、どのへんが怪しいとお考えなんですか？

補足

アドバイスをありがとうございます。

圏の概念に慣れていないので、議論の展開の仕方と結論に自信がありません。

単射かつ全射であるのに同型じゃないと言う例は、書籍やネットで見かける例はもっと複雑な例です。ですので、今回のようなあまりにも単純な例が結論として出たのは、推論の中になんらかの誤りがあるのではないかと思ってます。

回答No.3

graphaffine

例というのは、具体的な例のことですよね。
貴兄の挙げているのは、どんな圏の話ですか。f,gは
どんな写像ですか。全く具体性がありません。

で、例を挙げるとしたら、位相空間と連続写像の圏が簡単だと思います。

お礼

いえ、具体例と言っても対応する実世界は特に考えていません。「monoでepiでもisoとは限らない」の証明のための反例が欲しかったイメージです。そう考えた場合に質問で書いたような論理の展開に誤りはないかが知りたいです。

もし「圏を考える時はその具体例を考えるべき」と言うことであれば、その認識はありませんでした。質問した圏は圏の定義にあうようにだけしか考えてません。このような考え方はしない方がいいんでしょうか？

# ですが、私の考えた圏は {1, 2, 3}と 順序関係 ≦ による半順序圏に
# なってそうな？

回答No.2

stomachman

ANo.1のコメントについてです。

> 書籍やネットで見かける例はもっと複雑な例

と仰るのは、「環の圏における有理数環への整数環の埋蔵は、双射だけど同型射ではない」というような例のことでしょうね。具体的な代数系があって、それを抽象化して圏を考えるとすると、もし同型射が作れるのなら、それを含めた圏を考えるのが自然です。同型射f:A→B→AがあればAとBが同一視できてしまうのだから。

　しかし、圏ってのは緩やかな概念であり、「射が作れるなら含めなくちゃいけない」と要求することはない。
　「作れる射のうち幾らかだけを入れた圏」がきちんと意味を持つ場合だって考えられます。たとえば、計算論や暗号理論におけるアルゴリズムの関係を見るために、射の計算量に制限を付けた場合です。NP時間で出来る処理だけを射とする圏とか、あるいはもっと具体的に「特定のプロセッサで準リアルタイムで出来る処理」だけを射とする圏を考えたって良い訳で。

お礼

はい、ZからRの埋め込みをよく見かけます。

結局、私の議論の展開に誤りはないということでいいんでしょうか？