空間 高校生です。

質問

四面体ABCDはAB=BC=CD=DA=2，AC=BD=3をみたす．点Aを通過する平面αに点B,C,Dから下ろした垂線の足をそれぞれP,Q,Rとする．BP+CQ+DRの最大値を求めよ．

Aを原点として空間座標で考えるも断念
直方体に入れようとするも入らず
問題提供した友達は音信不通

助けてください（＞＜）よろしくお願いします。

回答No.4

age_momo · ベストアンサー

#1です。

>Aを原点として空間座標で考えるも断念

どこで断念されたのでしょうか？
とりあえず、Aを原点として都合のいいようにCをx軸に
持ってくると

A(0,0,0),B(1,2√2,0),C(2,0,0),D(1,3/√2,√(7/2))になります。
平面αの法線ベクトル(a,b,c)　(ただし、a^2+b^2+c^2=1)が
xy平面と作る角度をω、射影がx軸と作る角度をτとすると
a=cosτcosω,b=sinτcosω,c=sinωとなります。

点と平面の距離の公式から
BP+CQ+DR=|a+2√2*b|+|2a|+|a+3/√2*b+√(7/2)*c|

場合分けすればいいのですが、最大値を求めるので全てが同符号で
ある方がいいのは自明ですから全て正について書きます。
（正式ではないので本当に解答するときはきちんと書いてください）

BP+CQ+DR=|a+2√2*b|+|2a|+|a+3/√2*b+√(7/2)*c|
=4a+7/√2*b+√(7/2)*c
=4cosτcosω+7/√2*sinτcosω+√(7/2)*sinω

これを三角関数の合成２回で一つにまとめると

=2√11*sin(ω+θ)

よって最大値は2√11だと思います。
検算してください。

回答No.5

info22

#2です。
訂正です。
＞A(0,0,√8),B(0,-1,0),D(0,1,0)
＞とすると
＞D(√(7/2),0,3/√2)
C(√(7/2),0,3/√2)　の転記ミスです。
＞となります。

＞L=BP+CQ+DR
＞=(2|b|+|a√(7/2)-(1/√2)|/√{(a^2)+(b^2)+1}
=(|b+2√2|+|a√(7/2)-(1/√2)|+|b-2√2|)/√{(a^2)+(b^2)+1}
と訂正です。
この訂正で以下の修正が発生します。
＞この最大値を求めると
＞a=-√7,b=±2√2でLmax=2√2
a=-√7/9,b=0で　Lmax=2√11

＞この時のαは
＞-x√7±2y√2+z=2√2
x√7 -9z +18√2=0
また
BP=DR=9/√11,CQ=4/√11
となります。

これで合っていると思います。

回答No.3

debut

あっているのか、完全に不明です・・・

まず、ＡＣ がα上にあるとしたとき、ＢＰ＋ＤＲの最大はどう
なるかと見れば、点Ｂ，ＤはＡＣ の中点を中心とした
半径２√２の同一円周上を動くから、加法定理だ余弦定理だ
とかで、結局、辺ＢＤがαと平行になるときとわかります。

で、そのとき、ＢＰ＝ＤＲであり、ＢＤの中点をＭとして
αに垂線ＭＮを引けばＢＰ＝ＭＮとなります。
よって、２ＭＮ＋Ｃ Ｑの最大を見ればいいことになり、ＭＮ，
Ｃ Ｑ，Ａを含む断面で考えると、点ＭはＡを中心とする
半径２√２の円の一部を描き、点Ｃ はＡを中心とする半径
２の円の一部を描き、しかも∠Ｃ ＡＭはcos∠Ｃ ＡＭ=√2/4
を満たしたままＭ，Ｃ が同時に動きます。
で、これも加法定理などで、最後は最大値２√11（およそ6.6)
と妙な数が。。

実際、△ＢＣ Ｄを底面としたとき、この四面体の高さは√14/2
なので、この３倍の3√14/2（およそ5.6）なので、それくらい
なのかなあという感じ。

友達探して、答えだけでも教えてー。

回答No.2

info22

4面体の立体が構成不可能でしたので、回答を控えていましたが、訂正があり今度は立体が構成できました（実現できました）ので回答します。

4面体ABCDの頂点をXYZ座標で表し
A(0,0,√8),B(0,-1,0),D(0,1,0)
とすると
D(√(7/2),0,3/√2)
となります。
α：ax+by+(z-√8)=0とおくと
L=BP+CQ+DR
=(2|b|+|a√(7/2)-(1/√2)|/√{(a^2)+(b^2)+1}
と出てきます。
この最大値を求めると
a=-√7,b=±2√2でLmax=2√2
と出てきました.
この時のαは
-x√7±2y√2+z=2√2
となりました。
（両辺を定数倍した式は同じ平面の式になります。）

なお、合っているかどうかは分かりませんが、後は自力で途中の計算を補ってやってみて下さい。理解できなければ諦めて下さい。
途中の計算は大変ですのでここでは省略しました。
別の方法で最大値を出されたなら、答え合せして見てください。

回答No.1

age_momo

>四面体ABCDはAB=BC=CD=DA=2，AC=BD=3をみたす

問題を間違えていませんか？
例えば正方形ABCDがあり、この対角線がそれぞれ3だとすると
一辺の長さは3/√2≒2.12
すでに2を超えています。ここで対角線ACを持ち上げてみると
一辺の長さ(AB,BC,CD,DA)は長くなるばかりです。2にはなりません。
つまり、題意を満たすような四面体は無いと思います。

補足

AB=BC=CD=DA=2，AC=BD=3→AB=BC=CD=DA=3，AC=BD=2

の間違いでした。すみません。
ご指摘ありがとうございます。再度よろしくお願いします。