奇跡の問題

質問

（１）平面上に長方形ABCDがある。　この平面上の任意の点Pに対して
PA＾２+PC^2=PB^2+PD^2　が成り立つことを証明せよ。
この問題で　座標を図示するとき　原点にAをとってもとめて解いているのが解とうだったのですが
こののばあい　一般性は失わないのはなぜか　教えてください。

回答No.5

mister_moonlight · ベストアンサー

＞こののばあい　一般性は失わないのはなぜか　

一般性という言葉の意味を考えてみたらよい。
4点に具体的な数字を与えた点を取ることは、一般性があるとはいえない。なぜなら、その(与えられた数字の)4点について成立したに過ぎない。
ならば、4点をＡ(α、a)、Ｂ(β、b)、Ｃ(γ、c)、Ｄ(δ、d)といてやって良い。α、β、γ、δ、a、b、c、dに好きな数字を代入すれば常に成立するから。
数字ではなく、文字で与えればその文字に好きな数字を入れれば成立が確認される。
しかし、これではいかにも計算が面倒だろう。
それなら、4点をＡ(0、0)、Ｂ(β、0)、Ｃ(β、d)、Ｄ(0、d)としてやったほうが、計算が簡単になる。
1点Ａ(0、0)だけを固定しただけで、後の3点は好きに移動できる。
もちろん、4点をＡ(α、0)、Ｂ(β、0)、Ｃ(β、c)、Ｄ(α、c)としてやっても良い。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。

回答No.4

Tofu-Yo

座標を当てはめただけなのでどこに原点をおいても一般性は失いません。
ただ、自分なら座標を使わず、ＰからＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡに下ろした垂線の足をそれぞれＳ、Ｔ、Ｕ、Ｖとおけば、ピタゴラスの定理から、
左辺=ＰＳ^2+ＰＴ^2+ＰＵ^2+ＰＶ^2=右辺
と証明すると思います。

お礼

どうも　ありがとうございます。

回答No.3

alice_44

ABCD を描く前から、平面上に座標系が在ったとしても、それは無視して、
新たに A を原点とする座標軸を置き、その座標で考えれば済むからです。
そのことを「A を原点へ平行移動する」と呼ぶ習慣です。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

178-tall

ピタゴラス流により、
　[PA]^2 と [PC]^2　　…(1)
　[PB]^2 と [PD]^2　　…(2)
を長方形 ABCD の辺方向成分に分解して考えたとき、(1), (2) の両者が同値の内容、という証明なんじゃありませんか？

それなら、座標の原点位置を変えても結果は同値、ということでしょうね。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

noname#157574

失いません。

お礼

わかりました。