大学の数学の整数について

質問

整数が整域であることの証明で、零因子がないことの示し方がわかりません。整数a,bが0でないならばa・bも0でないのはどう示せばいいのでしょうか？かなり悩んでるのでわかる方は教えてください(泣)

回答No.4

graphaffine · ベストアンサー

#2の者です。
「ａ，ｂが自然数の時にその積が０でない」
という事はいいですか。

それがわかれば、後は負の整数や正の整数で
場合分けするだけです。そういう意味で#2で自明と言いました。

「」の事が納得できないと言う事なら補足してください。
私は勿論、他の解答者も「」は当り前と捉えています。

補足

それが証明できてなかったので、使えなかったのです(汗)

でも場合分けでわかりました。
ありがとうございました＾＾

回答No.9

uyama33

ａ×ｂ＝(ｍ，ｎ)×(ｉ，ｊ)
＝(ｍi＋ｎｊ、ｍｊ＋ｎｉ）

ここから修正します。

a*b=0
なら、

ｍi＋ｎｊ＝ｍｊ＋ｎｉ

４つに場合を分けます。

m>n ^ i>j
略

m<n ^ i>j
の場合は

ｎｊ－ｍｊ＝ｎｉ－ｍi

（ｎ－ｍ）ｊ＝（ｎ－ｍ）i

０＝（ｎ－ｍ）i－（ｎ－ｍ）ｊ
　＝（ｎ－ｍ）（i－ｊ）

自然数の差は結果が正の数になるときは定義できるとする

よって、n-m=0 または i-j=0
よって、a=0 または　b=0

以下、略

回答No.8

i536

#6です、たびたび、すみません。
読み直しているうち、もっと簡単な証明が浮かびましたので追加します。

命題：【整数a,bが0でないならばa*bも0でない】

まず、#6と同じく、下の命題(0)を仮定します。
a≠0 かつ b≠0 かつ a*b=0 ---(0)

仮定(0)の最後の式a*b=0の右辺に、0=a*0 を代入すると、
a*b=a*0---(1)'

仮定(0)のa≠0と法則６とにより、
式(1)'から直ちに次式が得られます、
b=0---(2)'

あとは、#6の式(4)以降と同様にして証明できます。

なお、法則(6)は乗法の逆元という考えが整数に
適用できないために導入されたものと考えられます。

回答No.7

i536

#6です、
誤解される可能性があるタイプミスがありましたので、
お詫びして訂正します(【が】を【を】に一文字訂正)。

>次の６法則がみたす集合Zが整数です。---誤
次の６法則をみたす集合Zが整数です。----正

回答No.6

i536

集合Zに加法(+)・乗法(*)の２つの演算が定義されていて、さらに、
任意のa,b,cが集合Ｚに属するとき、次の６法則がみたす集合Zが整数です。
（整域は整数の積集合です）。
この６法則は、下の本から採りました。
『A Survey of Modern Algebra』G.Birkhoff & S.MacLane　Macmillan Co.

1.a+b=b+a---(交換法則)
2.a+(b+c)=(a+b)+c---(結合法則)
3.a*(b+c)=a*b+a*c---(分配法則)
4.a+0=a、a*1=a----(0,1∈Zが存在する)
5.a+(-a)=0----(加法の逆元が存在する)
6.c≠0, ca=cb　⇒　a=b　(キャンセル)

----
上の、１～６を用いて、下を証明します。このとき、
上記単位元1,零元0は一意に存在すること(それぞれ１つしかない)、
また、a*0=0は既に証明ずみとしておきます
(証明はご質問の方法と似たり寄ったりでできます、
分からなければまた補足してください)。

【整数a,bが0でないならばa*bも0でない】

下の命題(0)を仮定します。
a≠0 かつ b≠0 かつ a*b=0 ---(0)

仮定(0)の最後の式　a*b=0の両辺に、a*0を加えると、
a*b+a*0 = 0+a*0 ---(1)

式(1)の左辺には、分配法則を右辺から左辺方向に適用し、また
式(1)の右辺には法則１&４を順に適用する(0+a*0=a*0+0=a*0)と、
a*(b+0) = a*0 ---(2)

仮定(0)よりa≠0が成立しているから、
式(2)に法則６が適用できて次式が得られます、
b+0=0---(3)

式(3)の左辺に法則１&４を順に適用すると(b+0=0+b=b)、
b=0---(4)

式(4)は、仮定(0)のb≠0と矛盾します。
したがって、命題(0)はつねに偽です。
したがって、命題(0)の否定は常に真です。
よって、【（a≠0 かつ b≠0 かつ a*b=0）ではない】--(6)
は真となります。

この命題(6)の否定を実行して、別の同値な論理式に書き換えると、
【（a≠0 かつ b≠0)でないか、または (a*b=0）ではない】となります、
さらに続けてこれに、'ならば'という論理の言葉を使用すると、
【（a≠0 かつ b≠0)ならば (a*b=0）ではない】、すなはち、
【（a≠0 かつ b≠0)ならば (a*b≠0)】

となり、【（整数a,bが0でないならばa*bも0でない】
が証明されたことになります。

この種の数学の証明は、論理学の知識とある程度慣れが必要です。
書き方がくどかったかもしれません。

回答No.5

noname#24477

結局、自然数とは何か、というところにいってしまいそうです。＃４の方の補足（になっているかな）

ａ＋１＞ａ

は良いでしょうか？

ａ＋ａ＞ａ

ｍａ＝ａ＋ａ＋ａ＋・・・・＋ａ＞ａ＞０

は認めてくれますか？

負の数まで範囲を広げるなら絶対値で考えれば
自然数の場合に帰着します。
ということで当たり前と言われるのもうなづけます。

ところで＃１の回答はちょっと・・・
某掲示板でうわさの○井式整数論ですが
証明したいことの中にそれを使ってしまっています
から循環論法に陥っています。
理解できないほうが幸せです。
ちょっと余計なことを書きすぎましたか・・・

補足

そうなんですよね…証明が循環して元に戻ってしまいますよね；
私が最初にこの問題を考えたときに、それを指摘されて、わからない、にはまってしまいました；；
絶対値も使えない状態で…。

でも
＃４の人のコメントで別の考え方ができたので解けました＾＾
ありがとうございました！

回答No.3

uyama33

整数の集合Zと加法と乗法を定義して、
それぞれに結合法則・交換法則・分配法則が成立することを示して、(ここまではできたのですが。)

整数の定義と
整数の加法の定義
整数の乗法の定義
はどうなっていますか？

それがはっきりすれば自然に理解できると思います。

もちろん、NO 1 の方の解答が
この場合の答えだと思います。

回答No.2

graphaffine

yukirinrinさん、今晩は。

言葉は正確に。
整域であることを示すのは整数全体の集合であって、
単なる整数ではないです。
それから整数と言ってもいろいろ（有理整数、代数的整数etc)あるのですがどれですか。

もし、有理整数（高校までの範囲で言う整数)ならば自明（当たり前)です。代数的整数ならば、その定義を明らかにして下さい。

補足

今晩は。
すみません…よくわかってないのですが、
自然数の定義から始めて…

整数の集合Zと加法と乗法を定義して、
それぞれに結合法則・交換法則・分配法則が成立することを示して、(ここまではできたのですが。)
加法と乗法についてZは整域である事を示したいのですが、そのために証明したい、整数a,bが0でないならばa・bも0でない、ということが証明できないのです
補足になっているのか心配ですがこんな感じです
すみません

回答No.1

imai20000

証明
ａ＝(ｍ，ｎ)，ｂ＝(ｉ，ｊ)とする。
条件より、ａ、ｂが０でないから、ｍ≠ｎ，ｉ≠ｊ
ａ×ｂ＝(ｍ，ｎ)×(ｉ，ｊ)
＝(ｍｊ＋ｎｊ、ｍｊ＋ｎｉ）

＝ｍｉ＋ｎｊ－ｍｊ－ｎｉ
＝(ｍ－ｎ)(ｉ－ｊ)≠０　　∵　ｍ≠ｎ，ｉ≠ｊ

∴ａ×ｂ≠０