ガンマ関数を用いて定積分

質問

ガンマ関数を用いて　∫u^4e^-u^2 du を解けという問題中で u=x^2 とし、du=1/2√xと設定されています。そこで途中の展開された式が　1/2 ∫x^(2/3)e^-x dx となっているのですがなぜここにたどり着いたのかがわかりません。展開途中の式を教えていただけますでしょうか

回答No.2

ka1234 · ベストアンサー

こんにちは。

＞ガンマ関数を用いて、∫u^4e^-u^2 du を解け。

[解答]
u^2=x とおくと、u≧0 の時、u=√xとなる。
両辺を微分すると、du=dx/(2√x)となる。

　∫(u^4)exp(-u^2)du
＝∫(x^2)exp(-x){dx/(2√x)}
＝∫(1/2)x^(3/2)exp(-x)dx
でしょうか。

積分区間がx=0～∞とすると、
＝(1/2)Γ(5/2)
＝(1/2)(3/2)(1/2)Γ(1/2)
＝(3/8)√π　（答え）

お礼

ありがとうございます。
おかげさまで最後までたどり着くことが出来たように
思います。
またよろしくお願いいたします。

回答No.3

info22

#1です。
#2さんがすでに解答済み重複しますので省略します。
積分結果も
(3/8)√π
で合っています。

回答No.1

info22

定積分と書いてあるのに、積分範囲が書いてありませんね。

補足に書いていただけませんか？

補足

すみませんでした範囲は
０から∞　です