積分の答えがあわず困っています。

質問

いつもお世話になっております。

積分の勉強をやっていて、基本的な計算をしていてツボにはまってしまいました。。。

(x+1)^2 = (x^2 + 2x + 1)なのですが
それぞれ積分すると

∫(x+1)^2 dx = 1/3(x+1)^3 + C
= 1/3(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + C
= 1/3x^3 + x^2 + x + 1/3 + C

∫(x^2 + 2x + 1) dx = 1/3x^3 + x^2 + x + C

となり値が異なってしまいます。

問題とかではないのですが、確認のためにやってみたら答えが合わず悶々としています。
どなたか説明して頂けると助かります。

回答No.4

sanori · ベストアンサー

＃３様のおっしゃるとおりです。
不定積分の場合は、積分定数Ｃは何でもよい定数です。

下限と上限を与えて定積分をすれば、１／３があってもなくても、定数項は差し引きゼロで、結局同じ答えになります。

＃１様、＃２様のおっしゃるとおり、
１／３　＋　Ｃ　＝　Ｃその２
として、
1/3x^3 + x^2 + x + Ｃその２
とするのがよいです。

・・・というよりも、
積分は微分の反対ですから、
正しく積分できたかどうかは、求まった積分の式を微分して、元の式に戻ることを確かめればよいです。
１／３　も　Ｃ　も定数項ですから、１回微分すれば消えてしまいます。

ちなみに、積分をした結果、定数（積分定数ではありませんが）が足し算ではなく掛け算になる場合もあります。
たとえば、
Ｃ・ｅ^(a+x)　　　（Ｃとａは定数）
といったケースです。
これは、
Ｃ・ｅ^(a+x)　＝　Ｃ・ｅ^a・ｅ^x　＝　定数その１×定数その２×ｅ^x　＝　定数その３・ｅ^x
と整理するのがよいわけです。

回答No.3

sokamone

ある関数ｆの不定積分とは、微分してその関数ｆになる関数のことで、
それは定数項だけ「不定」となります。だから定数項が違っていても問題なしです。どちらも正解です。

回答No.2

noname#77845

「C」がなんなのかを考えると判ると思いますよ。

Cは「任意」の定数ですよね。そして、1/3も定数です。
なので、
Cに1/3を加えてもやっぱりCになります。（何でもいいんですから…。）

回答No.1

debut

上の方は定数をまとめていないからでしょう。