オイラー級数の説明

質問

フーリエ余弦級数の問題で　Σ１/ｎの二乗　が邪魔なので、オイラーを使って、　Σ１/ｎの二乗　を
１/１の二乗＋１/２の二乗＋１/３の二乗＋‥‥‥＋１/ｎの二乗＝
（１/６）πの二乗　の問題の説明が必要なのですがうまく説明できません。どなたかわかる方、説明をお願いします。

回答No.1

kumipapa

ぜータ関数　ζ(2) = Σ1/(k^2) = π^2 / 6 を示すって事ですね。
道がちょっとそれるようですが、
sin x = x - x^3/(3!) + x^5/(5!) ・・・　　　・・・（１）
一方、sin x = 0 は x=0, x = ±kπ (k=1,2,3,...) を解に持つので、（１）式を因数分解すると、
sin x = x Π (1 - x/(kπ)) (1 + x/(kπ)) = x Π (1 - x^2/(kπ)^2)　・・・（２）
（１）式と（２）式の両右辺の x^3 の係数を比べると、
- 1/(3!) = - Σ 1/(kπ)^2 = - (1/π^2) Σ1/(k^2)
より、
ζ(2) = Σ1/(k^2) = π^2 / 6

お礼

ありがとうございました