フーリエ級数

質問

私は、現在フーリエ級数について学習中ですが、現在ではのこぎり波（三角波）を用いたフーリエ級数の求め方に悪戦苦闘しています。この場合は短形波を用いたフーリエ級数と同じようにフーリエ係数(An, Bn)を使って解くのでしょうか？
説明不足かもしれませんが、どなたかよろしくお願いします。
ちなみに、参考文献はありますか？

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

矩形波では、矩形波を
　　f(x)＝０　（-π＜x＜０）
　　　　＝１　（０＜ｘ＜π）
として、フーリエ係数を次のように求めたことと思います。（積分区間はすべて　－π→π　とします。）
　　a0＝1/(2π)∫f(x)dx　＝1/2
　　An＝1/π ∫f(x)cos(nx)dx＝０
　　Bn＝1/π ∫f(x)sin(nx)dx＝2/(nπ) (n:odd), 0 (n:even)
　∴f(x)＝1/2+2/π {sin(x)+(1/3)sin(3x)+(1/5)sin(5x)+・・・）

　のこぎり波でも、定義どおりに同様に求めることができ、こちらの方が奇関数ですから、フーリエ余弦係数が０になりますので、計算が楽にできます。

　のこぎり波の式を
　　g(x)＝ｘ　　（-π＜ｘ＜π）
とおきますと、フーリエ係数は、
　　An＝(1/π) ∫x cos(nx)dx＝０
　　Bn＝(1/π) ∫x sin(nx)dx
　　　＝(2/π) ∫x sin(nx)dx　　　（ここだけ積分区間は　０→π）
　　　＝(-1)^(n+1) 2/n
と求められますので、展開式は次のようになります。
　　g(x)＝2{ sin(x)-(1/2)sin(2x)+(1/3)sin(3x)-・・・）

　フーリエ係数の求め方については、多くのサイトで解説されていますので、「フーリエ級数展開、フーリエ係数」などの用語で検索されるとよいと思います。

お礼

ご解答ありがとうございます。少しずつ問いでみたいと思います。