実数

質問

こんにちは。
2問ほど質問があります。よろしくお願いいたします。

(1)次の式を簡単にする問題です。
√{10+3√(97+56√3)}
私はまず√(97+56√3)からやって√(97+2√3×28^2)までやったのですが、28を二乗にしてなおかつ3までかけると大きな数字になり、足して[97]という数字がいっこうに見つからないのです。
この問題を解くコツを教えてくだされば幸いです。

(2)x=√(3-√8)のときx^4+2x^-2x-1の値を求めよ。
答えは4(1-√2)です。
まず、何から手をつけたらよいのかわかりませんでした。

教えてください。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

(1)√(97+2√2352)が√x+√yと変形できるなら両辺を2乗して
√(97+2√2352)=√x+√y
97+2√2352=x+y+2√xy
値を比較して
x+y=97
xy=2352
となるx,yが存在します。どちらでもいいので消去してみると
x(97-x)=2352
x^2-97x+2352=0
解の公式でxを求めると
x=48 or 49
よって
√(97+2√2352)=√48+√49=4√3 + 7
次も同様にしてください。

(2)x=√(3-√8)=√2 - 1
x+1=√2
両辺を2乗すると
x^2+2x+1=2
x^2+2x-1=0
これで与式を割った余りを出して(xの一次式になる)xの値を代入するといいです。
答えからは（x^2+2x-1)P(x)-4x
となることが予想されます。(与式がよく分かりませんのであくまで推測です)

お礼

age_momoさん
ありがとうございました。

ご説明いただいたので解けました。

また、何か今後ありましたらよろしくおねがいいたします。

回答No.4

yhposolihp

ANo.3　です。

間違えました。訂正します。

---------------------

a　と　b　を近い値に設定すると、

　　×　abは　小さくなります。

　　○　abは　大きくなります。

回答No.3

yhposolihp

>> P=√{10+3√(97+56√3)}
>> Q=√(97+56√3)
>>　　=√(97+2√(3*28*28))

a+b=97
ab=(3*28*28)=3*2*2*2*2*7*7=49*48

素因数分解すると何となく見つかるような。
a　と　b　を近い値に設定すると、
abは　小さくなります。
それでも盲点になって、見つからない事もあります。
最後の手段は、強引に二次方程式を解きます。
(t-a)(t-b)=0
(t^2)-(a+b)t+ab=0
(t^2)-９７t+(３*２８*２８)=0
t=[９７±√( (９７^2)-4(３*２８*２８) )]/2
　=[９７±√(９４０９－９４０８)]/2
　=[９７±√(９４０９－９４０８)]/2
　=[９７+１]/2,[９７-１]/2
　=４９,４８

Q=√49+√48=7+4√3
P=√{10+3(7+4√3)}
=√{10+21+12√3}
=√{31+2√(3*3*3*2*2)}
=√27+√4=3√3+2

-------
>>x=√(3-√8)のときx^4+2x^3-2x-1

x=√(3-√8)=√(3-2√2)=√2-1
　(x+1)^2=2
　　(x^2)+2x-1=0

このあとは、(x^2)を(1-2x)に置き換えて、
次数をおとすか、
割り算を実行します。

(x^2)=(1-2x)

R=((x^2)^2)+2(x^3)-2x-1
　=((1-2x)^2)+2x(1-2x)-2x-1
　=4(x^2)-4x+1+2x-4(x^2)-2x-1
　=-4x
　=-4(√2-1)=4(1-√2)

R=(x^4)+2(x^3)-2x-1
　=[(x^2)+2x-1][２次式]+[１次以下]

　　　　　　　　　１　　０　　１
　　　　　　　　―――――――――
１　２　－１　｜１　　２　　０　－２　－１　　　　
　　　　　　　　　１　　２　－１
　　　　　　　　　　　――――――――
　　　　　　　　　　　　　　　１　－２　－１
　　　　　　　　　　　　　　　１　　２　－１
　　　　　　　　　　　　　　　　　――――
　　　　　　　　　　　　　　　　　－４　　０

　=[　　　０　　][２次式]-4x
　=-4(√2-1)=4(1-√2)

お礼

yhposolihpさん
ありがとうございました。

とてもご丁寧に解説感謝です。

また、何か今後ありましたらよろしくお願いいたします。

回答No.2

pipen220

(1)は、和が97 積が3×28×28となる２数を求めることになりますが、和が奇数であるので、２数は奇数と偶数の組合せということになります。
また3×28×28は3×4×7×4×7となりますが片方は奇数になるため3×7×7×16という風に偶数をひとつにまとめることが出来ます。
ここまでで考えられる2数の組合せは、
16,3×7×7
16×3,7×7
16×7,3×7
16×3×7,7
16×7×7,3
16×3×7×7,1
さらに16×7=112だから97を超えてしまうので下の4つは消えて・・・ここまでくればわかりますね＾＾
(2)はやり方がたくさんありますが、条件式を
x=√(3-2√2)
x=√2-1
x+1=√2
両辺２乗して
x^2+2x+1=2
x^2=-2x+1
両辺にxをかけて
x^3=-2x^2+x
=-2(-2x+1)+x
=-3x-2
・・・
というように次数の大きい項を１次式で表して見てください。

お礼

pipen220さん
ありがとうございました。

すごく参考になりました。

また、何か今後ありましたらよろしくおねがいいたします。