楕円体の慣性モーメントの式

質問

大学の授業で今、慣性モーメントを習っているのですが、少し疑問に思ったので教えてください。半径の長さx, y, zの楕円体の慣性モーメントはなぜIxx = (2/5)yzM　Iyy = (2/5)zxM　Izz = (2/5)xyM
Ixy = Iyx = Ixz = Izx = Iyz = Izx = 0と表せるのでしょうか？
できればインテグラルを使った式の形で教えていただきたいです。お願します。

回答No.1

joggingman · ベストアンサー

楕円体x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1の慣性モーメントは、
http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/inertiaTable1/
にあるように、
Ix=(1/5)(b^2+c^2)M
Iy=(1/5)(c^2+a^2)M
Iz=(1/5)(a^2+b^2)M
なので、とりあえずこれを求める方法を書いておきます。
楕円体の密度をρ、
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1の体積領域をvとすると、
Ix=ρ∫[v](y^2+z^2)dxdydz
x=aX,y=bY,z=cZと変数変換すると、dxdydz=(abc)dXdYdZ、
X^2+Y^2+Z^2=1の体積領域をVとすると、
Ix=ρ∫[V](b^2Y^2+c^2Z^2)(abc)dXdYdZ
Vは球だから、
Z=rcosθ,Y=rsinθsinφ,X=rsinθcosφと変数変換すると、
dXdYdZ=(r^2*sinθ)drdθdφだから、
Ix=ρ(abc)∫[0→1]dr∫[0→π]dθ∫[0→2π]dφ{b^2*r^2*(sinθ)^3*(sinφ)^2+c^2*r^2*(cosθ)^2}
=ρ(abc)(1/5)(4π/3)(b^2+c^2)

M=ρ∫[v]dxdydz=ρ∫[V](abc)dXdYdZ
=ρ(abc)∫[0→1]dr∫[0→π]dθ∫[0→2π]dφ（r^2sinθ）
=(ρabc/3)(2π)∫[0→π]sinθdθ
=(ρabc/3)(4π)

よって、Ix=(1/5)(b^2+c^2)M
Iy,Izも同様
Ixy=∫[v]xy dxdydz なら、対称性より積分値は０．
Iyz,Izxなども同様

お礼

計算過程がとてもわかりやすかったです。ありがとうございました。