慣性モーメントがわかりません

質問

長半径ａ(ｘ軸上)短半径ｂ(ｙ軸上)の楕円体の慣性モーメントを求めたいです(原点が楕円の中心でx軸y軸z軸それぞれの慣性モーメントを求めたい)
∫０からａ　ρ４ｘ二乗ｂ√１－（ｘ二乗／ａ二乗）ｄｘ
でｙ軸に関する慣性モーメントが求まるときいたんですがなぜなのかわかりません
慣性モーメントは∫ｒ^2ｄｍでもとまるので、ｒが上のｘに対応してると思うのですがなぜそのままｘ^2とできるのかわからず、またｂ√１－（ｘ二乗／ａ二乗）つまり楕円の式をｙ＝にした形にρをかけたものがなぜｄｍになるのが想像つきません
急ぎではないので暇なときに答えてくれたらうれしいです

回答No.4

hitokotonusi · ベストアンサー

>（　）内はわかるのですが、どこからabcとdudvdwがでてきたのですか？？

ただの変数変換ですよ。u=x/aなのでdu=dx/a、つまり、dx = a du。v,wも同様。

＞u = r sinθ cosφ, v = r sinθ sinφ, w = r cosθ　となるのもよくわかりません。

普通の球座標表示ですけど。。。。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E5%BA%A7%E6%A8%99#.E7.90.83.E5.BA.A7.E6.A8.99_.28Spherical_Polar_Coordinates.29

お礼

なるほどです！！
球の球座標表示をならったことなくしりませんでした。。。

ありがとうございました！！

回答No.3

hitokotonusi

それなら一からやり直しですね。

楕円体のx,y,z方向の半径をa,b,cとすると楕円体の式は

(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 =1

ここで

u = x/a, v=y/b, w=z/c

という変数を定義すると、

u^2 + v^2 + w^2 = 1

が成り立つので、u,v,wは半径1の球になります。

z軸まわりの慣性モーメントは

Iz = ∫ρ(x^2 + y^2) dxdydz = ρabc ∫(a^2 u^2 + b^2 v^2) dudvdw

u,v,wは半径1の球なのでこの積分はその単位球内の積分になるので極座標を使って

u = r sinθ cosφ, v = r sinθ sinφ, w = r cosθ

として書き直すと

Iz = ρabc ∫(a^2 r^2 sin^2θ cos^2φ + b^2 r^2 sin^2θ sin^2φ)r^2 sinθdrdθdφ

φの積分は０～2πで、cos^2φもsin^2φも積分の結果πになるので

Iz = πρabc ∫(a^2 r^2 sin^2θ + b^2 r^2 sin^2θ )r^2 sinθdrdθ
　 = πρabc(a^2+b^2)∫[0->1] r^4 dr ∫[0->π]sin^3θdθ
　 = πρabc(a^2+b^2) (1/5) (4/3)
　 = (1/5) (4π/3)abc ρ (a^2+b^2)

楕円体の体積が(4π/3)abc なので(4π/3)abcρが楕円体の質量になるのでこれをMと書いて

Iz = (1/5) M (a^2+b^2)

x軸、y軸まわりの慣性モーメントはa,bの部分の組み合わせが変わるだけです。

お礼

Iz = ∫ρ(x^2 + y^2) dxdydz = ρabc ∫(a^2 u^2 + b^2 v^2) dudvdw

真ん中の式と右の式がなぜ＝になるのかわかりません・・・
（　）内はわかるのですが、どこからabcとdudvdwがでてきたのですか？？

あと
u = r sinθ cosφ, v = r sinθ sinφ, w = r cosθ　となるのもよくわかりません。
普通に球のときの極座標でｄｍ＝r^2sinθdrdθdψとなるのはわかりますが・・・

回答No.2

Quarks

楕円体(立体図形)と書かれていますが、解答の式から判断すると、楕円形(x-y平面上にある楕円形。平面図形）の慣性モーメントですね。

楕円の方程式は
(x^2/(a^2))＋(y^2/(b^2))＝１
です。
変形して
y=b√(1-(x/a)^2)　(y>0 の領域で）

添付図のように、楕円を、y軸に平行な辺を持つ細長い"長方形"の集まりと見なして計算してみます。
x座標がxの位置に有る横幅がdxの"長方形"を考えます。dxは極めて小さいとしますから、上下端が少し傾いていることは無視できて、長方形だと見なせます。

この細長い"長方形"の面積dSは
dS=2・b√(1-(x/a)^2)・dx
ですから、その質量は
dm＝dS・ρ=2ρb√(1-(x/a)^2)・dx
この長方形のすべての部分は、ｙ軸からの距離は x ですから、"長方形"の、慣性モーメント dI は
dI=dm・x^2=2ρb√(1-(x/a)^2)・x^2・dx
と書けます。

楕円全体の慣性モーメントＩyを求めるには
x=-a～x=aまでの範囲でdIを積分すれば良いでしょう。左右対称なので、積分範囲を
x=0～x=aまでの範囲として、２倍します。

Iy=２・∫[0..a]2ρb√(1-(x/a)^2)・x^2・dx
=4ρb・∫[0..a]√(1-(x/a)^2)・x^2・dx
(略）
=ρ・a^3・b・π/4
楕円の面積は　S=π・ab　なので、楕円の質量をＭとすると
Ｍ＝πab・ρ
ですから
Iy=(1/4)Ma^2
と求まります。

同じようにして、x軸を回転軸としたときの慣性モーメントは
Ix=(1/4)Mb^2

x-y平面上にある２次元図形の場合、Iz=Ix+Iy となることがわかっていますから、z軸を回転軸としたときの慣性モーメントは
Iz=(1/4)(a^2＋b^2)

もしa=bなら　Ix=Iy=(1/4)Ma^2　Iz=(1/2)Ma^2 となって、円盤の慣性モーメントの値と一致します。

お礼

すみません……
解答を見てみると分母が５となっています…

立体(楕円体)としてみたら分母５となりますか？

立体の場合はどうしたらいいでしょうか？

ほんとにすみません…

回答No.1

hitokotonusi

結果から判断すると楕円体ではなく厚さを持たない楕円板のようですね。そして密度ρは面密度でこれに面積をかけると質量になるので、微小面積をdSとしてdm = ρdS。

楕円の式は二乗を^2であらわして(割と標準的な記法です)

(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1

なのでこれから正のyについて

y(x) = b √[1-(x/a)^2]

楕円をy軸に平行な直線で幅dxの短冊状に分割します。このなかの一つの短冊の位置をxとすると、長さが2*y(x) (正負あるのでy(x)の2倍)、幅dxの長方形で近似できるので面積が

dS = 2*y(x)*dx = 2b √[1-(x/a)^2] dx

この短冊内の全ての点はy軸から等しい距離xだけ離れているので、慣性モーメントは短冊全体で

ρdS × x^2 = 2ρ x^2 b√[1-(x/a)^2] dx

-xの場所にある短冊も同じ慣性モーメントになるので、これも加えると2倍になって

4ρx^2 b√[1-(x/a)^2] dx

あとはこれを、x=0からx=aまで加えます(連続変数なので積分)。

お礼

その式は友達にきいたので間違ってるように思われます…

やはり楕円体でやらないと答えがあわないようです…

すみません
よければ楕円体について教えてください