慣性モーメントの問題

質問

密度が一定（ρ_0とする）の次の指定された軸の周りの慣性モーメントを計算せよ。
(１)一辺の長さａの立方体。立方体の一辺を軸にした場合の慣性モーメントおよび、立方体の中心を通り、相対する2面に垂直な軸に関する慣性モーメント。
(２)ｘｙｚ空間でｘ^2+ｙ^2≦ｚ^2，0≦ｚ≦ｈで定義される物体。ｚ軸に関する慣性モーメント。

この問題で、(１)の前者＝∫∫∫_D　ρ_0(ｘ^2+ｙ^2)ｄｘｄｙｄｚ，D=(0≦ｘ≦ａ，０≦ｙ≦ａ，０≦ｚ≦ａ)として解いてあり、(１)の後者＝８∫∫∫_D　ρ_0(ｘ^2+ｙ^2)ｄｘｄｙｄｚ，D=(0≦ｘ≦ａ/２，０≦ｙ≦ａ/2，０≦ｚ≦ａ/2)として解いてあり、(２)＝∫∫∫_V　ρ_0(ｘ^2+ｙ^2)ｄｘｄｙｄｚ，ｖ=(x^2+y^2≦z^2，0≦ｚ≦ｈ)として解いてあったのですが。
ここで質問です。
(1)確かに慣性モーメントの公式はI=∫∫∫ρ(x、y、z)r^2(x，y，z)dxdydzなのですが、なぜ、(１)(２)ともにr^2のところがx^2+y^2なのでしょうか？ｚが入ってもおかしくないと思うのですが。r^2は軸からの距離ですし。これは、自分の都合よく平面で考えて良いということなのですか？
(2)(１)の後者で8倍してありますが、何をもって8倍なのでしょうか？
(3)そもそも慣性モーメントとはなんなのか？

この3つの私の質問の答えを教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

kony0 · ベストアンサー

じゃぁ、体感してください。
(a)腕を体に巻きつけて、くるくる回転してみる。
(b)腕を横にのばして、くるくる回転してみる。
すると、明らかに(b)のほうが回転重いですよね？これが慣性モーメント。。。ではだめですか？＞有識者の皆様

ということで、同じ重さのものを回すのでも、軸から遠くにあるほど「まわりにくい」ですよね？

次に、回転軸と立方体の位置関係ですが、回転軸をz軸としたときに
(1)は立方体の頂点が、(0,0,0),(a,0,0),(a,a,0),(0,a,0),(0,0,a),(a,0,a),(a,a,a),(0,a,a)
(2)は立方体の頂点が、（±a/2,±a/2,±a/2)（複合同順ではない）
という位置に置かれており、すなわちz軸からの最大距離は(1)が(√2)aに対して(2)は(√2)a/2というように、違いますよね？

＞軸からの距離は変わりませんし（同じx＾2+y＾2という意味で）
とありますが、(x,y)のsetのとり方が(1)と(2)で違う以上、軸からの距離が変わらないわけではないです。

すべては、絵を描いて考えてください。軸をx軸にとろうと、傾いた適当な直線ととろうと（これはやらないでしょうが^^;）どーでもいいのですが、問題に合致するように座標系をとってあげれば、回転軸をz軸にするかどうかなんてたいした問題ではないはずです。

＞0～ａ/2までの積分のイメージがつきません。
これも図を描けばイメージふくらみませんか？
ただし、確かにD=(0≦ｘ≦ａ/２，０≦ｙ≦ａ/2，－ａ/2≦ｚ≦ａ/2)として積分範囲４倍のほうが説明しやすいような気はしなくはないのですが・・・（これもどーでもえぇ？）

お礼

親切なアドバイスありがとうございます！
残念ながら体感したのですが、重いという感覚がわからなかったです。
＞0～ａ/2までの積分のイメージがつきません。
＞これも図を描けばイメージふくらみませんか？
＞ただし、確かにD=(0≦ｘ≦ａ/２，０≦ｙ≦ａ/2，－ａ/2≦ｚ≦ａ/2)として積分＞範囲４倍のほうが説明しやすいような気はしなくはないのですが・・・
　　なぜこちらのほうが説明しやすいのですか？
また、慣性モーメントを求めるときには軸からの距離は必ずx＾2＋y＾2なのでしょうか？他のケースはないのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#108554

（3）回りにくさです。ってのでは、納得しないでしょうか？
質量が動きにくさをあらわす量であるように。

感覚的に質量が同じなら半径が大きな円のほうが回しにくいですよね。

お礼

なるほど！なんとなくわかりました！
でも、(１)と(２)の違いがわかりません。式自体はほとんど変わりませんし。立方体の一辺だろうと、中心を通って相対する二面に垂直に交わる直線に対してでも、軸からの距離は変わりませんし（同じx＾2+y＾2という意味で）あとは積分範囲が違うだけですが、どこかすっきりしません。もう少し問題の意味を含めて解説していただければ幸いですが。よろしくお願いします。

回答No.1

kony0

(1)回転軸をz軸と考えているからでしょう。
点(x,y,z)とz軸の距離は√(x^2+y^2)です。
(2)積分範囲を見てもらえばわかると思いますが、上下左右、手前奥に関して対象なため、たとえば右上の手前側だけ積分して、あとはそれを8倍しているということです。
(3)基本的な物理のテキストでも見てください。そうか他のどなたかに回答をゆだねます。^^;

お礼

アドバイスありがとうございます！
(１)について・・回転軸をｚ軸にしてるんですか！これは他の問題でもｚ軸にしていいのでしょうか？
(２)について・・積分範囲からの8倍なんですね？？いまいち、0～ａ/2までの積分のイメージがつきません。
(３)について・・生物履修者なので物理の本を持っていないんですね。。。
ありがとうございました！