球体の慣性モーメント

質問

一様な球（質量M、半径a）のｚ軸まわりの慣性モーメントについて質問です。

dIz=1/2＊(ρπx^2dz)＊x^2（Iは完成モーメントのアイです）
x^2=a^2-z^2
あとは密度は ρ 、dzを-a～aまで積分すればいいのですが、
x^2=a^2-z^2がわかりません。
慣性モーメントを求めるうえで、したの画像のような
薄い円盤の板をどんどん積み重ねていくから、
ｚ軸周りの慣性モーメントを求める際のｒ＾２にあたるのがｘ＾２としているのがわかりません。

薄い円盤はz軸を含んでいるにもかかわらず、これに対して薄い円盤とz軸までの距離というのがそもそも定義できないと思ってわからないのですが、だれかわかりやすく回答してくださいませんか。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

「dIz=1/2＊(ρπx^2dz)＊x^2」
この式自体が、
「半径xの円盤を（円の中心を通り円盤と垂直な直線のまわりに）回転させた際の慣性モーメント」
を表しています。
（よく「I=(1/2)M*a^2」と表記される式です）

この円盤（球体をz軸に垂直な平面で切ったもの）の慣性モーメントをzについて積分することになります。
このとき、
「球面の方程式が x^2+y^2+z^2=a^2 である」
「z座標と円盤の半径xとの関係を出すには、この球面をzx平面（y=0）で切ったときに断面に現れる円 x^2+z^2=a^2 で考える」
ということから
x^2 = a^2 - z^2
という式を代入することになります。