相対論がわからないので困っています！！！

質問

宇宙空間を光速に近い等速度で進むロケットがあるとします。
このロケットの中の時間の進みを調べるために、バネの力による単振動
の周期によって時間を計ることにします。
γ＝√(1-(v/c)^2)とし、（γ＜１）
相対性理論により、おもりの質量が増大しM/γとなることを考慮し、
バネの周期T＝２π√M/kにこれを代入し、T’＝２π√M/γKすなわち
T'＝T/√γを得ることができます。
これによって時間は１/√γおくれることが言えると思うのですが、
実際は１/γ遅れます。この矛盾はいったいどう説明できるのでしょうか。どなたか、初心者にもわかりやすく明解な説明をぜひお願いします。

回答No.5

z2718282001

ロケットの中にある棒を取り出してきて、相対論よれば棒は短くなっているはずだと思って、ものさしで長さを測っても地球にあった時と同じで長さは変りません。相対性原理によれば地球とロケットは区別出来ないことになっているので、地球とロケットではすべての実験結果は同じになるはずです。
もしも、違った結果がでたとすると、絶対空間が見つかったことになり、アインシュタインはペテン師になります。そんなことは口が裂けても言えません。地球と比べて、ロケットのそれはゆっくりになるはずです。

回答No.4

z2718282001

おもりの質量が増えたからと云っても、ロケットの中の人はおもりが重くなったとは思っていませんよ。地球の人が見ると重たくなったように、見えるだけです。ロケット内でみるかぎりその周期は変わりません。地球で同じ事をするとロケット内のその周期は地球のそれよりも遅れますね、と云うことだと思います。もしも、地球とロケット内で違う実験結果が出たとすると、それから、ただちに絶対空間に対する速さが計算されます。相対論は間違っていた派が泣いて、喜びそうな事態になります。
そうなれば面白いのですが。　岩波書店　力学　ファインマン物理学　ファインマン、レイトン、サンズ
　著　坪井忠二　訳　ｐ２１５、２１６　を参考にしました。

回答No.3

endlessriver

ややこしいので＃２の方のようにγ=1/√(1-v^2/c^2)とします。
ローレンツ変換の運動方程式は
dp/dt=F=[F'/γ+v{(v・F')(1-1/γ)+(F'・u')v^2/c^2}/v^2]/(1+(v・u')/c^2)
ややこしいのですがp,F,F',v,u,u'はベクトル、(v・F'),(v・F')は内積、v^2,c^2はスカラー。
|u|<<|v|,cとすれば
dp/dt≒m(v)du/dt=m0γdu/dt
また(v・F')=(v・u')=0のときはF≒F'/γ
ゆえにdu/dt=F'/(m0γ^2)となって遅れはγであうことになります（大体？）。
(v・F')≠0のときはさらに複雑になり、私にはこれ以上のほらをふくことはできません？

回答No.2

eatern27

本来は
>バネの周期T＝２π√M/k
これが成り立ちません。(座標に固定した時計で時間を測ると、ばねは単振動しません)
まぁ、「相対論的質量」は、速度に依存する訳で、速度は時間とともに変化するんですから、そもそも、どの瞬間の速度を代入したらいいのかが決められないでしょう。

けど、そんなに激しく振動しているばねが存在するかどうか自体が怪しいので、より現実的に、ばねの振動がゆっくり(「相対論的質量」が定数だと思えるという事だと思って下さい)で、このばねを相対論的な速度で運動する観測者が見た時にどうなるか、という事を結果だけ書きます。この場合、ばねの振動方向と、観測者の(ばねに対する)運動の方向によって話が違ってくるのですが、
ばねの振動と観測者の運動の方向が平行の時、質量はＭ'＝Ｍ/γ^3、ばね定数はＫ'＝Ｋ/γ
ばねの振動と観測者の運動の方向が垂直の時、質量はＭ'＝Ｍ/γ、ばね定数はＫ'＝Ｋγ
となるので、どっちの場合にも周期は、1/γ倍になります。
※ここではlaipnitzさんの記号に合わせましたが、普通はγ=1/√(1-v^2/c^2)で定義します。理由があるのなら別ですが、基本的にはこういう慣習に従いましょう。

しかし、相対論的質量(or縦質量,横質量)のような概念は、啓蒙書の類や昔の教科書には載っているかもしれませんが、最近は相対論的質量のような概念を使う事はありません。「相対論的質量」というのは名前だけで、(単独では)相対論的な概念ではないし、いろいろと誤解を生むからです。
ちゃんと相対論を理解しようと思っているのであれば、このような概念を使わずに理解した方がいいと思います。

回答No.1

Mr_Holland

バネ定数が変化することを考慮していないからだと思います。

　簡単の為に、ロケットから見て、進行方向と垂直に重力加速度ｇが加わっているとして、バネを重力加速度の向きと平行に単振動させているとします。
　ロケットから見たバネの釣り合いの長さをＬとしますと、
　　Ｍｇ＝ＫＬ　∴Ｌ＝Ｍｇ／Ｋ　　・・・・（ａ）
となりますが、この長さはロケットの進行方向の成分を持たないので、静止系から見てもローレンツ収縮を起こさず長さは変化しません。
　そこで、静止系から見た質量をＭ’、バネ定数をＫ’、重力加速度をｇ’としますと、
　　Ｍ’ｇ’＝Ｋ’Ｌ
となりますが、Ｍ’とｇ’については、
　　Ｍ’＝Ｍ／γ、　ｇ’＝ｇγ^2（∵時間はローレンツ収縮、変位は不変)
となりますので、
　∴Ｌ＝Ｍ’ｇ’／Ｋ’＝γＭｇ／Ｋ’　・・・（ｂ）
になります。
　ここで、（ａ）と（ｂ）から、
　　Ｋ’＝γＫ
が得られます。

　そこで、周期の公式に代入しますと、
　　Ｔ’＝２π√(Ｍ’/Ｋ’）＝２π√{ (Ｍ’/γ)/(γＫ) }＝２π√(Ｍ／Ｋ）／γ
　　　　＝Ｔ／γ
となり、矛盾なく示すことができます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ひとつ訂正しなければならないのですが、
ここではローレンツ収縮を考えていません。
それから宇宙空間といいましたが、ここでは重力の影響を
受けないものとします。