単振動と微分方程式の問題です

質問

単振動と微分方程式の問題です、よろしくお願いします

m(kg)のおもりを吊るした振り子の一端を天井に固定し、さらに水平方向に動くばねの一端をおもりに取り付け、おもりを鉛直下で静止させる。
このとき、ばねはちょうど自然長とする。なお、ばね定数をk(N/m)、重力加速度の大きさをgとする。
ここで、振り子と鉛直線のなす角度をθ(rad)傾けた場合の運動を考える。

(1)静止して釣り合ったおもりの位置を原点Oとして、その原点Oからの水平方向のおもりの変位をx(m)、垂直方向の変位をy(m)として水平方向と垂直方向の２つの運動方程式を立てよ。
ただし、振り子がおもりを引く力をT（N)として、式中に残したままで良い。

(2)振り子の吊り点からおもりの中心までの長さをL(m)とする、振り子と鉛直線とのなす角θが小さい場合、Sinθ=θ、Cosθ=１ と近似されます。これを利用し、水平方向のおもりの微小変位x(m)と垂直方向のおもりの微小変位y(m)を表せ。

回答No.2

SKJAXN · ベストアンサー

本問には不思議な表現がありますので、出題者に確認された方がよろしいかと存じます。それは、「水平方向に動くばね」という表現です。
(1)では振り子の角度θに制約がなく近似云々の議論が無いことから、振り子は左右と上下にある程度の振り幅で運動しますが、この内上下の運動に伴って、バネのおもりと反対側の支点も、上下運動に平行して上下するのかという疑問が生まれます。バネの自然長が与えられていないことから推察し、そのような動きをする支点という前提で回答いたします。

(1) おもりの左側にバネが取り付けられているとして、右向きを水平成分xの正方向、鉛直上向きを鉛直成分yの正方向とします。おもりが右側に鉛直線のなす角度θだけ傾けられたとすると、おもりにかかる水平成分の力は、「バネが縮む力」と「おもりを引く力」の水平成分ですので、時間tによる２回微分を(d2/dt2)とすると、水平方向の運動方程式は、
m*(d2/dt2)x＝－k*x－T*sin[θ] →(式1)

また、おもりにかかる垂直成分の力は、「おもりを引く力」の垂直成分と重力ですので、鉛直方向の運動方程式は、
m*(d2/dt2)y＝T*cos[θ]－m*g →(式2)

(2) 変位x、yとL、θの関係は、
x＝L*sin[θ]、y＝L－L*cos[θ]

ですが、sin[θ]＝θ、cos[θ]＝1 と近似すると、
x＝L*θ、y＝0 →(式3)

です。よって(式1)、(式2)は、
m*(d2/dt2)x＝－k*x－T*x/L →(式4)
0＝T－m*g →(式5)

となります。(式4)、(式5)からTを消去すると、
m*(d2/dt2)x＝－k*x－m*g*x/L＝－(k＋m*g/L)*x
⇔ (d2/dt2)x＝－(k/m＋g/L)*x

より、単振動の微分方程式に帰着します。角振動数は、ω^2＝k/m＋g/L ですから、微小変位x[t]の一般解は、
x[t]＝A*cos[√(k/m＋g/L)*t＋φ]
（ただしAとφは、初期条件より決まる定数）
また(式3)より、y[t]＝0 です。

回答No.1

SKJAXN

この文面ですと単なる依頼と捉われてしまうと思うのですが、どういったところをご相談されたいのでしょうか？　例えば、解いていったところある部分で躓いてしまったとか、問題の文面のある個所の意味が理解できない等です。

補足

水平方向の運動方程式はでたのですが、それもあってるか不安なので。手間をかけますが最初から解答お願いします。
説明不足で申し訳ないです。