鉛直運動でのニ物体の衝突問題

質問

天上にばねを固定し、そのばねにおもりAをつけ、下からおもりBを衝突させます。ばねは単振動をするんですが、二回目に物体がまた衝突する時間はいつか？という問題なんですが、どうやればいいのかまったくわからず、解答をみると、Bに着目した解答だと、O点（ばねの自然長ではなく、元のおもりAをぶらさげてるときのつりあいの位置であり、最初の衝突の位置）におもりBが再びもどってくる時間が二回目の衝突の時間だとかいてあるのですが、何ですかこれは？
Aに着目したとき、周期Tの半分が求める時間だとかいてありますが、これも理解できません。
何故そうなるんでしょうか？
僕はモンキーハンティング問題みたいに、それぞれの加速度と速度を求めて
ある位置で衝突すると仮定して、式をたてて連立するのかな？と思ったのですが・・・。

回答No.3

ht1914 · ベストアンサー

単振動の周期は振幅に関係しません。振幅が変われば釣り合いの位置を通過する速度が変わります。従って釣り合いの位置を通過する速度が変わっても周期は同じであるということになります。
釣り合いの位置にあるＡに下からＢがぶつかったというのはＡにある速度を与えるためのものです。どういう速度で運動が始まっても元に戻ってくる時間は同じです。これに関しては反発係数は無関係です。ただｅ＝０のときだけは質量が変わりますから注意が必要です。
衝突の式を使うとｖ＝３ｗが出てきます。これはバネに無関係です。

でもここから後が私にも判りません。解けないように思います。

回答には元の位置でぶつかると書いてあるわけですね。ということはＢもその時間に元の位置にいなければいけません。Ｂは初速度ｗで放物運動をしますから元の位置に戻ってくる時間はｗによって変化します。Ａがもとの位置に戻ってくる時間はｖによらないですから元の位置で衝突できるとは限らないのです。ｖ＝３ｗが成り立つという条件だけでは求められないのです。

＃１の回答で
＞ですから、天井からつり下がっている、ではなく、
「なめらかな水平面にばねが置いてあり、その端にＡがくっついている、それにＢが衝突した、ＡＢ質量が同じで、完全弾性衝突、Ａは飛んでばねは縮む、、Ｂは止まったまま・・・・・という設定」
ならば、納得がいくのですが。

と書かれているのはそういう理由です。

元の位置で衝突するための条件を求めるのかなとも思います。
その場合はｖが決まります。別のいい方をするとバネがどこまで上がるか決まることになります。
最高点の高さをｄとしています。（このｄも意味不明です。どこから測った高さかが分かりません。前の質問のからみで考えて釣り合いの位置から高さとします。）
ｄ、Ｌ０，Ｌの関係は
ｄ＝（３π／２）・（Ｌ０－Ｌ）
となります。

でもスッキリしません。

回答No.2

ht1914

衝突の問題だと必ず反発係数が必要です。Ａ、Ｂの質量も必要です。情報が足りません。問題を見てどういう量が必要か判断できるということは現象が分かっているかどうかの目安になります。
この条件整理をきちんとやると解けるはずです。モンキーハンティングも衝突の問題です。でも衝突するかどうかを訊くのと衝突の後の運動を訊くのとでは意味が違います。衝突するかどうかの場合は反発係数も質量も必要ありません。衝突後の運動を訊いている場合は反発係数と質量が必要です。

次々と質問を出されていますね。出しっぱなしでは駄目ですよ。私が答えだけではなく考え方や前提まで書いたのは改めて自分で振り返って捉え直してもらいたいからです。今回の質問文の雰囲気を見ると前のも本当に分かったのかなと心配になります。

この問題は前の質問での問題の続きだと思いますからポイントの指摘だけにします。じっくり取り組んだことが分かる質問文を書いて下さい。

補足

ご回答ありがとうございます。
入試も目前ときて、周りにきけるような人もおらず、焦っていまして、質問を続けるようなことになってしまい申し訳ないです・・・。
前回のご回答も自分なりには、基準とする点の違いや最初ばねのつりあいの位置における弾性エネルギーが抜けていたことなど、納得いきました。

今回の質問において、お尋ねしたいことは、
解答には本当になんの前置きもなく、Aに着目した場合は単振動の周期のはん周期、Ｂに着目した場合は衝突しておもりBが再び衝突点にくる時刻が答えであると、いかにも一般論のようにかかれているため、これが一般論、当たり前のきまりきった答えであるのか。
また、もしそうならどうしてそのような考え方ができたのか、です。

あと不足しておりました情報ですが、この衝突は完全弾性衝突であり、Aは質量ｍ、Bは質量2ｍ　です。衝突直後のAの速度は上向きにｖ、Bの速度は上向きにｗです。Aは最高点ｄまであがり、ばねの自然長の長さはL、つりあっている点（衝突の点）でのばねの長さはLoです。

そこで僕は、Aについて着目し、加速度をaとおき、下向きを正として
ｍa＝-k(L-x)+mg
a=-k(L-x)/m +g ＝-k(L+mg/k-x)
とだして、ぶつかる点をｔ秒後だとして
vt-1/2at^2（二分の一　a　tの二乗）=hとして、
次はＢに着目し、加速度は-gなので
wt-1/2gt^2=hとして
連立するのかな、と僕は思ったんですが・・・・。

回答No.1

noname#40706

下からぶつけたおもりＢは、ぶつかった後どんな動きをするのですか？

＜＜最初の衝突の位置）におもりBが再びもどってくる時間が二回目の衝突の時間だとかいてあるのですが、何ですかこれは？＞＞

という文から推測すると、Ｂはぶつかった後静止しているのではないですか。

もしそうならば、この解答どおりでいいですね。

また、

＜＜Aに着目したとき、周期Tの半分が求める時間だとかいてありますが・・・・・＞＞

これも正しいですね。

つまり、ばねについているおもりＡが上に上がって今度は下に下がって、ちょうど１／２往復したときがもとの高さに戻るときですから、たしかにそこでぶつかる。時間は１／２Ｔである。　ということですね。

ですから、天井からつり下がっている、ではなく、

なめらかな水平面にばねが置いてあり、その端にＡがくっついている、それにＢが衝突した、ＡＢ質量が同じで、完全弾性衝突、Ａは飛んでばねは縮む、、Ｂは止まったまま・・・・・という設定ならば、納得がいくのですが。

補足

いえ、それが、おもりＢも上向きに速度ｗで運動していると思われます・・・・。