物理

質問

物理の問題です
苦手なのでぜひ教えて欲しいです
丁寧に教えていただけると嬉しいです
よろしくお願いします

( 1 )～( 7 )を埋めよ。

軽いバネとゴムひもがあり、ともに自然 長はLである。バネのバネ定数はkとし、ゴムひもは、伸びたときだけxの伸びに対して、kxのの張力を与えるものとする。バネの上端に質量mのおもりA、下端に質量MのおもりBをつけ、ゴムひもをおもりAにつないだ。ゴムひもを鉛直に引き上げ、自然長になったところでゴムひもの上端を固定した。この状態でのおもりAの位置を点Pとし、ゴムひもが自然長
Lになる位置をQとする。以下では、おもりは鉛直方向だけに運動するものとし、重力加速度はgとする。

1.おもりAをhだけ引き下げて離すと、おもりAは点Pを中心として、振幅PQの長さより小さな単振動を始めた。このときhは条件h<( 1 )を満たしており、単振動の周期は( 2 )である。
2.次におもりAを引き下げる長さhを大きくしたところ、おもりBは動かずにおもりAは振幅がPQ間の長さより大きな上下の振動を始めた。この振動において、おもりAが点Pを通過するときの速さは( 3 )であり、点Qを通過するときの速さは( 4 )である。またこの運動の間におもりAが到達する一番上の点は点Pから( 5 )だけ上であり、このとき点Bは上方向の力( 6 )受けている。
3.以上の結果から、最初におもりAを引き下げる長さhを大きくしていって
( 7 )より大きくなると、おもりAの運動の途中で、おもりBはバネに引っ張られて床から離れることがわかる。

回答No.2

SKJAXN · ベストアンサー

本問は、おもりAがゴムひもの自然長点Qより下方に位置するときは、バネの力とゴムひもの力が作用しますが、点Qより上方に位置するときは、バネの力だけが作用する点で特異性を持っています。

１．Aが点Pに存在する場合バネは自然長であるということから、バネにはAの重力が寄与していない、すなわちAの重力とゴムひもの力が釣り合っているということが言えます。よって、
m*g＝k*x0 ⇔ x0＝m*g/k

より、m*g/k が点PQ間の距離です。ここでおもりAが点Qの下方で運動するケースを考えます。点Pを原点に取って鉛直上向きを正とし、加速度をa、Aの位置をxとおくと、運動方程式は、
m*a＝「バネによる力」＋「ゴムひもによる力」＋「重力」＝－k*x＋k*(x0－x)－m*g＝－2*k*x →(1)

式(1)を変形して
a＝－2*k/m*x →(2)

運動が x≧x0 の範囲に及ぶと、ゴムひもによる力が0となるため、単振動ではなくなります。
すなわち単振動となる条件は、初期振幅が m*g/k より小さいことが必要です。よって、
h＜m*g/k

単振動の周期は式(2)より、角振動数をωとすると a＝－ω^2*x の関係がありますので、周期をTとすると ω＝2*π/T より、
T＝π*√(2*m/k)

２．「運動エネルギー」＋「バネによる位置エネルギー」＋「ゴムひもによる位置エネルギー」＋「重力による位置エネルギー」は保存されますので、Aをhだけ引き下げたとき速度は0であることを考慮し、エネルギーの総和は、
1/2*m*0^2＋1/2*k*h^2＋1/2*k*(x0＋h)^2＋m*g*(－h)＝k*h^2＋1/2*(m*g)^2/k →(3)

点Pを通過するときの速度をv0とし、バネは自然長、および点Pを原点に取ったことから x＝0 を考慮し、エネルギーの総和は、
1/2*m*v0^2＋1/2*k*0^2＋1/2*k*x0^2＋m*g*0＝1/2*m*v0^2＋1/2*(m*g)^2/k →(4)

式(3)、(4)より、
k*h^2＋1/2*(m*g)^2/k＝1/2*m*v0^2＋1/2*(m*g)^2/k ⇔ v0＝h*√(2*k/m)

点Qを通過するときの速度をv1とし、ゴムひもは自然長であることを考慮し、エネルギーの総和は、
1/2*m*v1^2＋1/2*k*x0^2＋1/2*k*0^2＋m*g*x0＝1/2*m*v1^2＋3/2*(m*g)^2/k →(5)

式(3)、(5)より、
k*h^2＋1/2*(m*g)^2/k＝1/2*m*v1^2＋3/2*(m*g)^2/k ⇔ v1＝√((2*k/m)*h^2－(2*m/k)*g^2)

Aが到達する一番上の位置をx2とおくと、その位置での速度は0、かつ点Qより上方ではゴムひもの影響は受けないことを考慮すると、エネルギーの総和は、
1/2*m*0^2＋1/2*k*x2^2＋m*g*x2＝1/2*k*x2^2＋m*g*x2 →(6)

式(3)、(6)より、
k*h^2＋1/2*(m*g)^2/k＝1/2*k*x2^2＋m*g*x2 ⇔ x2^2＋2*m*g/k*x2－2*h^2－2*(m*g/k)^2＝0 →(7)

式(7)は、x2の２次方程式となります。x2について解くと、
x2＝－m*g/k±√(2*h^2＋2*(m*g/k)^2)

x2＞0より、Aが到達する一番上の位置は、
x2＝－m*g/k＋√(2*h^2＋2*(m*g/k)^2)

３．おもりAが一番上の位置に達する際のバネによる力は、
k*x2＝－m*g＋√(2*(k*h)^2＋2*(m*g)^2)

おもりBには、この力が鉛直上方に作用します。このとき、おもりBの重力よりも大きい場合、おもりBは床から離れます。よって、
k*x2＞M*g ⇔ ((m＋M)*g)^2＜2*(k*h)^2＋2*(m*g)^2 ⇔ h＞g/k*√((m＋M)^2/2－m^2)

いかがでしょう？

お礼

すごく分かりやすい回答ありがとうございました！！
あまり得意ではない分野で、すごく悩んでいた問題だったので、分かってスッキリしました。
また単振動のことが理解できました。
また機会があれば回答をぜひお願いします！！

回答No.1

SKJAXN

理解力が悪くて申し訳ありませんが、2点確認させて下さい。

1.「自然長になったところでゴムひもの上端を固定した。この状態でのおもりAの位置を点P。。。」と記述されておりますが、この表現から解釈すると、点PとQの位置は一致してしまい、振幅PQは発生しないのではないでしょうか？
それとも「この状態」とは、おもりAが落ち着いた状態に相当しますか？

2.問題の最後に「おもりBはバネに引っ張られて床から離れる」と記述されていますが、そもそもおもりBは、床と接触していたという解釈でよろしいでしょうか？

補足

説明不足ですいません

1 点Pは床から自然長Lの高さにあります。点Qはゴムひもの上端から長さL下にあり、ゴムひもがおもりAやばねによって少し伸びているのでゴムひもの下端、つまりおもりAの位置が点Pの位置になります。

2おもりBは床に接触しています。

説明が悪いので、分かりにくいと思います。
これで分かりますか？