半年前ほどの受験時の問題ですが。

質問

こんにちは。
9月の終わり頃に入試で出た問題なのですが、最近になって解き方らしきものが分かったので一応答えらしきものは出たのですが、自信がありません。
少し気になるので、お暇な方お付き合い願います。
相互コンダクタンス（M）の存在するRLC直並列回路です。

ωL1=X1 ωL2=X2 ωM=Xm 1/(ωC)=Xc （Xc可変）とした時の、共振時のXcの値をもとめるものです。

　　　　　　　　　　 .　M
┌－－□－－□－－┬－－－┐
｜　　R　　L1　　　　　.│　　　　│　Ic↓
○E　　　　　　　　　L2 □　　　　□C
｜　　　　　　　　　　　　│　　　　│
└－－－－－－－－┴－－－┘

先ず、等価回路は下図で良いでしょうか？

　　　R　　L1-M
┌－－□－－□－－┬－－－-┐
｜　　　　　　　　　　　　│　　　　　□M
○E　　　　　　　　　　　□L2-M　　│
｜　　　　　　　　　　　　│　　　　　□C
└－－－－－－－－┴－－－-┘
この図を元にインピーダンスを求めて、虚数＝ゼロの条件を求めた結果…

Xc=(Xm^2 - X1X2) / (2Xm - X1 - X2)
となりました。このXcは如何でしょうか？

さらに条件としてX1=X2=X Xm=kX (k:const)として、共振時のコンデンサに流れる電流を求めるのですが、そちらはXcが合ってなければ無意味になるのでまた後日にでも...。
一応計算結果は実数のみ（虚数成分ゼロ）になってしまいました。（何故？）
Ic=2E/Rでした。どこかミスでしょうかね。

他３問ほどありましたが、これが一番気になるので。
すこし面倒くさいですがどなたかおねがいします。

回答No.1

guiter · ベストアンサー

専門ではないのですが、回答がないようなので。

まず、等価回路は e3563 さんと同様の結果が出てきました。
（この部分が少し自信なしです。）
この等価回路から合成インピーダンスを求めると

　Z = R + i{(X1-Xm)(Xc-X2)-(X2-Xm)(Xc-Xm)}/(Xc-X2)

となるので、共振時の Xc は仰るように

　Xc = (Xm^2 - X1X2) / (2Xm - X1 - X2)

となりました。
ここまでくれば、条件　X1=X2=X Xm=kX (k:const)を入れると
交流電源を　E(t)=E*exp(iwt)　としたとき

　Ic = 2E/R*exp(iwt)
　I = E/R*exp(iwt)　　　（電源を流れる電流）
　I' = -E/R*exp(iwt)　　　（コイル２を流れる電流）

と良さそうな結果になってます。

＞一応計算結果は実数のみ（虚数成分ゼロ）になってしまいました。（何故？）
＞Ic=2E/Rでした。どこかミスでしょうかね。
虚数成分ゼロというのは係数の虚数成分がゼロ（電源電圧とIcの位相差がゼロ）
を意味するので流れる電流の虚数成分がゼロということではありません。

これとは違った意味でミスだと感じておられるなら補足してください。

お礼

本当にやってくださる方がいるとは思いませんでした。（泣）
等価回路が自信無かったのですが,同じと言うことなので安心です。入試本番では等価回路が違ってましたし…。
位相の件も納得しました。
大学生まであと少し…これからもがんばります。
ありがとうございました。
…お疲れ様でした…