RLC共振並列回路のLCのインピーダンスについて

質問

RLC並列回路にさらに抵抗Rが接続されている回路で(電圧源は交流電源E)、説明しにくいのですが、

RLC並列回路のところで、RとLCとの間に端子abがあります。つまり端子abで切断するとRと、LCの並列接続部分とに分かれるような位置です。

漢字の"目"を90度左に回転し、2画目に電源Eと抵抗R、3画目に抵抗R、4画目にコイルL、5画目にコンデンサC、２画目の、3画目と４画目との間に端子a、それとちょうど反対側に端子bがある感じです。

そのような回路の"共振時"で、
(1)角周波数ω0を求めよ。
(2)回路の良さ(尖鋭度)Q0、帯域幅Bを求めよ。
(3)コンデンサCにかかる電圧と流れる電流Icを求めよ。
(4)端子abから右側のインピーダンスを求めよ。
という問題なのですが、

以下僕が考えたやり方です。
まずテ電圧源を電流源J=E/R、RLC並列回路の抵抗RをR'=R//R(=R/2)と変換し、RLC並列回路だけで構成される回路(電源は電流源J)にしました。

(1)
回路のアドミタンスYは
Y=2/R + 1/jωL + jωC
=2/R + j(ωC -1/ωL)

これより、アドミタンスにかかる電圧Vは
V=J/Y……(1)

共振時は電圧と電流が同じ位相になるので、アドミタンスの虚部=0となるωがω0である。
従って、
ωC = 1/ωL
よって、ω0=1/√(LC)

(2)
Q0=ω0*C*R/2より、
Q0=(R/2)*√(C/L)

B=ω0/Q0より、
B=2/(RC)
ここはQとBは公式を使ったのですが、できればちゃんと算出したいです。
しかし自分ではわからなかったので教えていただけたらうれしいです。

(3)
(1)の式のωに(1)で求めたω0を代入して、
V=E/2
電流Icは
Ic=V*jωC　にω=ω0を代入して、
Ic=j*(E/2)*√(C/L)

そして(4)なのですが、同じようにコイルに流れる電流ILを求め、
インピーダンスZ=V/(Ic + IL)で求めようとしたのですが、分母の電流が0となり求められませんでした。

どうしたらいいのでしょう。
また、(1)～(3)の解き方はこれでよろしいでしょうか？

回答No.3

noname#101087 · ベストアンサー

>>|1+Tx|^2 = |2 + j*R*{ωC - (1/ωL)}|^2 = 8
>>　xC - (1/xL) = ±2/R
>これをどうやって導いたのか良くわかりませんでした。

半値電力になる角周波数 x として、
　　|1+T(x)|^2 = |2 + j*R*{xC - (1/xL)}|^2 = 8
は OK ですか？
これがあっておれば、
　　|2 + j*R*{xC - (1/xL)}|^2 = 4 + (R^2)*{xC - (1/xL)}^2 = 8
　　(R^2)*{xC - (1/xL)}^2 = 4
　　{xC - (1/xL)}^2 = (2/R)^2
と変形して、
　　xC - (1/xL) = ±2/R　　…(b)
を得ます。
あとは式 (b) の非負解 xo を求め、その差を帯域幅 B としました。

>(3)のコンデンサにかかる電圧に関してはVo=E/2で、電流IcはVo*jωo*Cを計算したらでますよね？

そのとおりですね。

>(4)も(3)同様にコイルLの電流を求めてIcと足し合わせ、Vo/Iとすれば出てくると思うんですが、やはり0になってしまうと思います。
>問題は一応回路の共振時において(1)～(4)を解けという形になっていますが、ここはωoではなくωで計算するべきなのでしょうか？

これについては、
　　"共振時"で(4)端子abから右側のインピーダンスを求めよ。
というのが問題らしい。
だとすれば、コイルLの電流を求めてIcると 0 になるのだから、インピーダンスは「無限大」。

回答No.4

ojisan7

横からちょっと失礼します。

>QとBは公式を使ったのですが、できればちゃんと算出したいです。

ここの計算は結構、面倒ですね。回路全体のインピーダンス|Z|は共振のとき、極大になりますから、2R/√2=|Z|というωについての２次方程式を解いて、２根の差を求めればそれがBになります。Q値を計算すると、
Q=ω0/Δω=√[1/{(2L/CR^2)+4]≒R√(c/2L)
このようになりましたが、計算ミスをしている可能性があります。ご確認下さい。
それでは、失礼しました。

補足

>>2R/√2=|Z|というωについての２次方程式を解いて、２根の差を求めれば

この2R/√2=|Z|というのはどうやって出したのでしょうか？
Δωが上の式から出た2つのωであるのは理解できましたが…

回答No.2

noname#101087

>Tはどこからでてきたのでしょうか？

R-L-C 並列のアドミタンスを Y として、T = R*Y と置いただけです。
　　V = E*(1/Y)/{R+(1/Y)} = E/(1+R*Y) = E/(1+T)

>>Q は「共振周波数 / 半値幅(帯域幅B)」で定義。<共振角周波数は (1) 参照>
>ここの共振周波数とは共振角周波数のことではないですよね？

共振周波数とは共振角周波数のことでした。

補足

上の件については了解しました。
何度も申し訳ないのですが、
>>|1+Tx|^2 = |2 + j*R*{ωC - (1/ωL)}|^2 = 8
　xC - (1/xL) = ±2/R
これをどうやって導いたのか良くわかりませんでした。

(3)のコンデンサにかかる電圧に関してはVo=E/2で、電流IcはVo*jωo*Cを計算したらでますよね？
(4)も(3)同様にコイルLの電流を求めてIcと足し合わせ、Vo/Iとすれば出てくると思うんですが、やはり0になってしまうと思います。
問題は一応回路の共振時において(1)～(4)を解けという形になっていますが、ここはωoではなくωで計算するべきなのでしょうか？

何度もすみませんが、教えてください………

回答No.1

noname#101087

まず、回路はこんな感じなのかな。
____a_b____
R　|　　|　|
|　R　　L　C
E　|　　|　|
|==|====|==|　(共通帰線)

(1) ωo=1/√(LC)　　ご名算。

(2) Q は「共振周波数 / 半値幅(帯域幅B)」で定義。<共振角周波数は (1) 参照>
　まず a_b の電圧 V は、
　　V = E/(1+T)　　ただし、T = 1 + j*R*{ωC - (1/ωL)}　　…(A)
・ωo における a_b の電圧は明らかに、Vo = E/2 。
・その半値の電力になる角周波数 x における a_b の電圧 Vx は、|Vx|^2 = (|Vo|^2)/2
　つまり、|1+Tx|^2 = |2 + j*R*{ωC - (1/ωL)}|^2 = 8
　　xC - (1/xL) = ±2/R
・これを満たす 2つの x の差が「半値幅(帯域幅B)」。
　(途中スキップ。要チェック)
　　B = 2ωo*SQRT(L/C)/R
・Q は ωo/B で定義。
　　Q = (R/2)/SQRT(L/C)　　共振回路のインピーダンスが低いほど Q が高くなる、ということ。

(3) コンデンサCにかかる電圧と流れる電流Icを求めよ。
(4)端子abから右側のインピーダンスを求めよ。
　どちらも、式(A)からわかりそう。

補足

┌R-┬-a┬─┐
│ 　│　　│ 　│
● 　 R　 　L 　 C
│ 　│　 │ 　 │
└─┴-b┴─┘

このような回路です。
●は交流電源Eです。

回答していただしてありがとうございます。
しかし(2)以降の記述が僕には難しすぎて理解できませんでした…
Tはどこからでてきたのでしょうか？
>>Q は「共振周波数 / 半値幅(帯域幅B)」で定義。<共振角周波数は (1) 参照>
ここの共振周波数とは共振角周波数のことではないですよね？