数IIIの問題

質問

関数f(x),g(x)をそれぞれ
f(x)=sinx,　
g(x)={1-│x│(│x│≦1のとき)　0（│x│＞1のとき）}
とする。また,bを0＜b＜πとなる定数とし,正の実数aに対して
I(a)=∫（-2a+b→2a+b） f(x)g(x-b/a)dxを考える。
(1)I(a)を求めよ。
(2)h(x)=xsinx+cosx-1とする。方程式h(x)=0はπ/2＜x＜πにおいてただ1つの実数解をもつことを示せ。また,この解をx=cとするとき,a＞0におけるＩ(a)の最大値は2(sinb)(sinc)であることを示せ。

が答えをみてもよく分かりません。
(1)で　│x-b/a│≦1すなわちb-a≦x≦b+aだから,
とあるのですが、なぜ│x-b/a│≦1なのですか？
（3）の後半も教えてください。

回答No.2

info22_

(1)
I(a)=∫[b-a,b] sin(x){1+(x-b)/a}dx
+∫[b,a+b] sin(x){1-(x-b)/a}dx
= …　（途中計算は省略。ご自分でやってみて下さい。）
=2sin(b)(1-cos(a))/a …(△)

(2)
h(x)=x*sin(x)+cos(x)-1
π/2＜x＜πで h'(x)=x*cos(x)<0
なのでh(x)は　π/2＜x＜π　で単調減少。
かつ、h(π/2)=(π/2)-1>0, h(π)=-2<0
なので
h(x)=0は π/2＜x＜π の範囲にただ１つの実数解をもつ。

(3)
c*sin(c)+cos(c)-1=0 (π/2＜c＜π) …(☆)
I'(a)=2sin(b)(a*sin(a)+cos(a)-1)/a^2=2sin(b)h(a)/a^2
(☆)より I'(c)=0
h'(x)=x*cos(x)
0<a<cではh'(a)>0,c<a<πでh'(a)<0より
　0<a<cではI'(a)>0　→ 単調増加
　c<a<πでI'(a)<0　→ 単調減少
従って
　a=cで（△）で与えられるI(a)は最大値I(c)を取る。
(☆)から c*sin(c)+cos(c)-1=0 (π/2＜c＜π)なので
　　　(1-cos(c))/c=sin(c)　…(▲)
（△）と(▲)から
　∴I(c)=2sin(b)(1-cos(c))/c=2(sinb)(sinc) (π/2＜c＜π)

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

ひとまず、(1)だけ
一言でいえば、積分区間を限定するための下調べの部分です。

実際、積分の値に寄与するのは |x-b/a|≦ 1のところだけです。
ひっくり返して言えば、b-a≦ x-b/a≦ b+aの区間以外では Ｉ(a)の値は 0です。

もともと Ｉ(a)の積分区間は b-2a≦ x≦ b+2aであり、a＞ 0でもあることから
b-2a＜ b-a≦ x≦ b+a＜ b+2a

と積分区間に |x-b/a|≦ 1の区間が包含されていることを述べているだけです。

結果、
Ｉ(a)＝∫[b-a→b+a] sin(x)*(1-|x|) dx

を計算していくことになるということです。