A-E,A＋Eの正則行列の証明

質問

A,O,E,はn×nの正方行列
m
Ａ＝Oが成り立つとき（mは一次以上の整数）
（１）A-Eは正則行列である
（２）A＋Eも正則行列である
ことを証明せよ、という問題がわかりません。頭のいい方教えてください

回答No.1

PRFRD

1/(1 - x) = 1 + x + x^2 + ...
という展開を見たことがあるかと思いますが，この行列版です．

(1) B = -(E + A + A^2 + ... + A^{m-1}) が A - E の逆行列です．
実際 (A - E) B を計算すると E になります．

(2) B = -(E - A + A^2 - ... + (-1)^{m-1} A^{m-1}) が A+E の逆行列です．
これも (A + E) B を計算すると E になります．

なお，証明からわかるように，ΣA^m が収束するなら A - E は正則です．