行列の階数

質問

A^3 = A をみたす正方行列Ａについて、
rank(A^2) = rank(A)　が成り立つことを示せ
という問題です。

Ａが正則であれば、両辺にＡの逆行列をかければ
A^2 = E となって証明できそうですが、
正則であるという条件はありません。
どうやって証明すればよいのでしょうか？

回答No.2

guuman

rank(A=A^3=A^2・A)≦rank(A^2=A・A)≦rank(A)

回答No.1

guuman

rank(A)=rank(A^2・A)≦rank(A^2)=rank(A・A)≦rank(A)