指数行列の公式の証明の仕方

質問

任意の正方行列Ａと任意の正則行列Ｂに対して、

B^(-1)exp(A)B = exp(B^(-1)AB)

の証明を考えているのですが、いまいち証明の方針がわかりません。
たぶん、exp(At)をテイラー展開（マクローリン展開）したものを用いると思うのですが、詳しい方お願いします。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

exp(B^(-1)AB)の展開において、左からB^(-1)、右からBでくくるのです。
exp(B^(-1)AB)
＝E＋B^(-1)AB＋B^(-1)(A^2)B/2＋B^(-1)(A^3)B/3!＋…
＝B^(-1)(E＋A+(A^2)/2＋(A^3)/3!＋…)B
＝B^(-1)exp(A)B

それとも、(B^(-1)AB)^n=B^(-1)(A^n)Bの証明？
(B^(-1)AB)^n＝(B^(-1)AB)(B^(-1)AB)…(B^(-1)AB)
＝B^(-1)ABB^(-1)AB…B^(-1)AB
＝B^(-1)(A^n)B
（中の積でBB^(-1)＝Eになって、Aのｎ個の積がでてくる）

補足の意味がよくわからないので、回答になってるかどうか・・・

お礼

すみません、変な日本語で 汗
僕が言いたかったのは、zk43さんが再度回答してくださった後者で。

すなわち、対角可能なある任意の行列があったら
そのn乗を求めるときと同じようなものだったんですね。

証明法がわかってスッキリしました。ありがとうございます。

回答No.1

zk43

(B^(-1)AB)^n=B^(-1)(A^n)Bなのでexp(B^(-1)AB)の展開を書いてみる
と、左からB^(-1)、右からBでくくれる。

補足

お返事送れて申し訳ないです。
僕も展開した後、zk43さんのように考えてみたのですが、

(B^(-1)AB)^nをそれぞれ括ると
(B^(-1)AB)^n=(B^(-1))^n(A^n)B^n
になるような気がするのですが、どうなのでしょう？
細かい過程をご教授頂けたら嬉しいです。

確かに、その変形が成り立つと仮定したら上手くできるのですが・・・