転置行列と逆行列の対角化について

質問

行列Aが対角化可能とするときAの転置行列とAの逆行列も対角化可能であることを示すにはどうすればいいでしょうか？Aは正則行列なので、逆行列は存在するとしても大丈夫です。

dim(λi)=n-rank(λiE-A)のような公式を使うらしいです。

回答No.8

178-tall · ベストアンサー

>…どういう証明になりますか？

わざわざパラフレーズするのも気が引けますけど…。

・A の転置：固有方程式 etc が変わらず、「次元定理？」を満たしたまま。

・A の逆行列：
　A は正則のはず。
　固有値を {ai} 、固有ベクトルを {vi} とする。
　　Avi = aivi
　両辺左側から A の逆行列 A^(-1) を掛けると、
　　Avi = ai*A^(-1)vi
　つまり、
　　A^(-1)vi = (1/ai)*vi
　A^(-1) の固有値は {1/ai} 、固有ベクトルは {vi} のままなので、「次元定理？」を満たすでしょう。

回答No.7

178-tall

#5 ですが、ノイズが入り、混乱しそうなので補足を…。

#5 は、「さっきの公式というか定理をつかうようにいわれました」から推測したものです。
テスト出題者のかたのご意向なのでしょう。
転置行列や逆行列へ「dim(λi)=n-rank(λiE-A)のような公式」を適用して、確かめさせたいようです。

テスト出題者には逆らえません。

補足

その場合、実際どういう証明になりますか？

回答No.6

Tacosan

「対角化可能」を
P^-1AP = diagonal となる正則な P が存在する
で定義するなら, #4 だけでいいです. 定義に「重解」なんて書いてないんだから, 使わない以上持ち出す必然性もありません. 「重解が保証されているとかいないとか」が正確にはどういう表現なのかがわからんとなんとも理解できません.

以下は #5 の話についてだけど....

正方行列が対角化可能 ⇔ 各固有値に対応する固有空間の次元と固有値の重複度が一致
を認めていいなら, 「対角化可能な行列の転置や逆行列も対角化可能」といえばこれは自動的に成り立たないとおかしい. 逆にこの同値性を認めないというなら, 「対角化可能な行列 A の転置行列や逆行列でも下記の等値関係が成立する」という日本語は変です. つまり, その解釈はちょっと苦しい.

回答No.5

178-tall

> … dim(λi)=n-rank(λiE-A)のような公式を使うらしいです。

対角化可能な行列 A の転置行列や逆行列でも下記の等値関係が成立することを示せ、と迫られているようです。

　　正方行列が対角化可能 ⇔ 各固有値に対応する固有空間の次元と固有値の重複度が一致

普段なら一々気にしないのは、転置や逆元算定の操作が上記関係を保存するから、なのでしょうけど…。
テスト出題者にうっかり逆らえませんからネ。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

対角化可能という条件さえあれば解けると思いますが、間違っていたらすいません。

対角化可能を
P^(-1)AP=D となる正則行列P と D(対角行列で対角要素が非ゼロ)が存在する
と定義すると

(P^(-1)AP)^(-1) = P^(-1)A^(-1)P = D^(-1)
で D^(-1) も対角行列だから A^(-1) も対角化可能。

(P^(-1)AP)^T = P^T・A^T・(P^(-1))^T = P^T・A^T・(P^T)^(-1)
#(P^(-1)・P)^T=E^T ⇒ P^T ・(P^(-1))^T = E ⇒ (P^(-1))^T = (P^T)^(-1) なので
で A^T も対角化可能

補足

そうおもったんですけど、だめだっていわれました
それで、さっきの公式というか定理をつかうようにいわれました。
なんか、重解が保証されているとかいないとかで・・・
自分も定義なのに式変形ではだめなのかと納得いっていません。

回答No.3

Tacosan

....

「行列A が対角化可能」の定義を聞いたのに....

日本語が理解できないのかなぁ....

補足

いやいや、対角化できる定義は
　　　　　　　λ１
　　　　　　　　λ２
・　０
P（－１）AP＝ ・
　　　　　　　０　　・
　　　　　　　　　　　λｎ
　　　　であらわせることだと思いますが、勘違いしていました。
問題でどう条件がさらに定義（過程）されているのか聞いていると思いまして。

回答No.2

Tacosan

あれ? なんか勘違いしてるのかなぁ....

ちなみに「行列Aが対角化可能」というのは, どのように定義されているのですか?

補足

問題をしっかりうつせば
Aをｎ次正方行列とする。
１）もしAが対角化可能ならAの転置行列も対角化可能であることを示せ
２）もしAが正則行列であり、かつ対角化可能ならAの逆行列も対角化可能であることを示せ
です

回答No.1

Tacosan

なんでそんな公式をつかわにゃならんのか.

「対角化可能」というのを式で書いてちょろっと変形すれば終わり.

補足

式変形だけではだめでした。
重解がある場合を考慮しなければいけないと言われました。
だから、その公式をつかって解いてみて、とのことでした。