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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:逆行列の公式 証明お願いします)

逆行列の公式の証明方法

このQ&Aのポイント
  • 逆行列の公式の証明方法について説明します。
  • 公式は(A+BC)^-1 = A^-1 - A^-1*B(I+CA^-1*B)^-1*CA^-1です。
  • 証明には行列の性質と行列式の性質が用いられます。

質問者が選んだベストアンサー

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  • 178-tall
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回答No.4

 (A+BC)~ = A~ - A~B(I+CA~B)~CA~ これは、左辺の逆を右辺に掛けてみるのが早そう。  (A+BC){A~ - A~B(I+CA~B)~CA~} = AA~ + BCA~ - B(I+CA~B)~CA~ - BCA~B(I+CA~B)~CA~ だが、右辺の最後の二項は、  B(I+CA~B)~CA~ + BCA~B(I+CA~B)~CA~ = B(I+CA~B)(I+CA~B)~CA~ = BCA~ なので、  (A+BC){A~ - A~B(I+CA~B)~CA~} = AA~ + BCA~ - BCA~ = AA~ = I   

anisakis
質問者

お礼

たしかにA+BCの逆行列になってますね 今までなんでこうなるんだって理由ばっか考えていましたが とりあえず頑張って計算してけばこうなるんだ 的な考えをもつことも大事かもしれませんね 回答ありがとうございました

その他の回答 (3)

  • 178-tall
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回答No.3

>最初のほう .....  y = -(D-CA~B)~CA~v + (D-CA~B)~w を  x = A~v - A~By   …(3) へ代入した、ように見えますね。   

anisakis
質問者

補足

説明不足でした 自分が聞きたかった最初というのは (A+BC)^-1 = A^-1 - A^-1*B(I+CA^-1*B)^-1*CA^-1 A=Iなら  I - B(I+CB)^-1*C   = I - BC(I+BC)^-1 = I - (I+BC)^-1*BC これのことです 後半のものは分かりやすくて理解できました

  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.2

部分行列の正則性やサイズの整合性は OK として、方針だけでも…。 消去法です。  Ax + By = v   …(1)  Cx + Dy = w   …(2) (1) から、  x = A~v - A~By   …(3)   M~ は M の逆行列 (3) を (2) へ代入。  C(A~v - A~By) + Dy = w   …(4)  (D-CA~B)y + CA~v = w  y = -(D-CA~B)~CA~v + (D-CA~B)~w …といった調子です。   

anisakis
質問者

お礼

わかりやすかったです y=Axから x=A~yをだすような感じですね ありがとうございました もしよろしければ 最初のほうも教えていただけると助かります

  • f272
  • ベストアンサー率46% (8467/18126)
回答No.1

要するに最後の式は (A^-1 + A^-1*BS^-1*CA^-1)A+(-A^-1*BS^-1)C = I (A^-1 + A^-1*BS^-1*CA^-1)B+(-A^-1*BS^-1)D = O (-S^-1*CA^-1)A+(S^-1)C = O (-S^-1*CA^-1)B+(S^-1)D = I と言ってるんだよね。 1番目の式と3番目の式は展開するだけだし,2番目の式と4番目の式は S = D - CA^-1*B を使ってD = S + CA^-1*Bを代入すればやはり簡単に示せるよ。

anisakis
質問者

お礼

ちゃんと計算すればでましたね 頭硬くて教えてもらうまで考えられませんでした ありがとうございました もしよろしければ 最初に示したほうも教えてもらえると助かります