- ベストアンサー
逆行列の公式の証明方法
- 逆行列の公式の証明方法について説明します。
- 公式は(A+BC)^-1 = A^-1 - A^-1*B(I+CA^-1*B)^-1*CA^-1です。
- 証明には行列の性質と行列式の性質が用いられます。
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(A+BC)~ = A~ - A~B(I+CA~B)~CA~ これは、左辺の逆を右辺に掛けてみるのが早そう。 (A+BC){A~ - A~B(I+CA~B)~CA~} = AA~ + BCA~ - B(I+CA~B)~CA~ - BCA~B(I+CA~B)~CA~ だが、右辺の最後の二項は、 B(I+CA~B)~CA~ + BCA~B(I+CA~B)~CA~ = B(I+CA~B)(I+CA~B)~CA~ = BCA~ なので、 (A+BC){A~ - A~B(I+CA~B)~CA~} = AA~ + BCA~ - BCA~ = AA~ = I
その他の回答 (3)
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>最初のほう ..... y = -(D-CA~B)~CA~v + (D-CA~B)~w を x = A~v - A~By …(3) へ代入した、ように見えますね。
補足
説明不足でした 自分が聞きたかった最初というのは (A+BC)^-1 = A^-1 - A^-1*B(I+CA^-1*B)^-1*CA^-1 A=Iなら I - B(I+CB)^-1*C = I - BC(I+BC)^-1 = I - (I+BC)^-1*BC これのことです 後半のものは分かりやすくて理解できました
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
部分行列の正則性やサイズの整合性は OK として、方針だけでも…。 消去法です。 Ax + By = v …(1) Cx + Dy = w …(2) (1) から、 x = A~v - A~By …(3) M~ は M の逆行列 (3) を (2) へ代入。 C(A~v - A~By) + Dy = w …(4) (D-CA~B)y + CA~v = w y = -(D-CA~B)~CA~v + (D-CA~B)~w …といった調子です。
お礼
わかりやすかったです y=Axから x=A~yをだすような感じですね ありがとうございました もしよろしければ 最初のほうも教えていただけると助かります
- f272
- ベストアンサー率46% (8467/18126)
要するに最後の式は (A^-1 + A^-1*BS^-1*CA^-1)A+(-A^-1*BS^-1)C = I (A^-1 + A^-1*BS^-1*CA^-1)B+(-A^-1*BS^-1)D = O (-S^-1*CA^-1)A+(S^-1)C = O (-S^-1*CA^-1)B+(S^-1)D = I と言ってるんだよね。 1番目の式と3番目の式は展開するだけだし,2番目の式と4番目の式は S = D - CA^-1*B を使ってD = S + CA^-1*Bを代入すればやはり簡単に示せるよ。
お礼
ちゃんと計算すればでましたね 頭硬くて教えてもらうまで考えられませんでした ありがとうございました もしよろしければ 最初に示したほうも教えてもらえると助かります
お礼
たしかにA+BCの逆行列になってますね 今までなんでこうなるんだって理由ばっか考えていましたが とりあえず頑張って計算してけばこうなるんだ 的な考えをもつことも大事かもしれませんね 回答ありがとうございました