少し複雑な式の大小関係の出し方

質問

例えば連立不等式
X^2－４X≦６
２X^2＋６X＞３
のような問題で、答えを出す際に数直線を使うわけですが、２±√10と－３±√15／２の大小関係ってぱっとでないですよね？なにかよい方法とかあるのでしょうか？それとも地道に計算して出すしかないのでしょうか？

回答No.4

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明白な質問とも取れますが、回答を試みると、真意が計り兼ねるので幾つか書いてみます。

(1)評価（厳密には近似）

√15≒4 , √10≒3 と評価すれば、
2+√10≒5 (-3+√15)/2≒0.5　
2-√10≒-1 (-3-√15)/2≒-3.5

即ち、(-3-√15)/2＜2-√10＜(-3+√15)/2＜2+√10

しかしながら、こんな事は百も承知と思われるので、次に、普通の考え方で。

(2)
任意の４数ならば、最悪６回の比較になりますが、２次方程式の解である事や、正の数/負の数が判断出来ることを前提に。

(-3+√15)/2　　　　と　　2+√10　の比較をするならば、
(-3+√15)　　　　　　と　　4+√40
√15 - √40 （負） と　　7（正）

こんなに速く終わってしまうのは、最初の二つの値の差が大き過ぎるためと思われます。

(-3-√15)/2　と　2-√10　ならば、
(-3-√15)　　 と　　4-√40
√40-√15　　と 7
55-2√600　　と　　49
6　　　　　　　　と　　2√600

これでも、まだ速過ぎます。速過ぎる原因は、偶々出あった問題の４数だから大小関係が題意に含まれていないと思われます。

>>地道に計算。と書いてあるので、(1)(2)どちらを指しているのかはわかりませんが。

(3)
同じ様な問題でも、大小関係が題意に含まれていると思われる問題もあります。
｜(x^2)-10x｜＜x+1 などでは、まともに場合分けをやると、大小関係だけで大変で、絶対値のグラフで切り抜けます。

(4)
数学１の範囲の大小比較は、移項と平方を繰り替えせば殆んど解決できるはずです。それが、かなり近い数値であったとしても。ただし、平方するときは両辺が正になるように前もって移項しておきます。

純粋に大小比較の問題の場合は、√2、√3、√5の値を知っていても使えません。（実際には知っているのですが。）

√3-2+√5 　　　　　と　　√2-√3+2
√5-√2　　　　　　　と　　4　- √12
7- √40　　　　　　　と　　28-√768
√768-√40　　　　と　　21
808-√122880　　と　　441
367　　　　　　　　と　　√122880
134689 (大)　　　　　　122880(小)

(5)
数学２では、平方だけでは出来ない問題もありますが、それはまたその時に判ると思います。

(6)
遥か以前のことで、明確な記憶ではありませんが。ある著名な大学で、２数の大小比較の問題が出題されました。いくら有名大学とは言え唖然としました。一見、数学１の範囲に見えるので、計算し始めた所、膨大な計算になってしまい途中で放棄した覚えがあります。あらためて怖さを感じました。
今思うと、まともに計算するのではなく、数値を次々に置き換えて行くと言う、評価/数感覚の問題であったのかとも思います。ここで言う”評価”は日常用語ではなく、数学などで使われる用語です。何となく身に付くことがらです。

お礼

回答ありがとうございます。
奥が深いですね。参考になりました。

回答No.3

noname#47894

２－√10と－３＋√15／２　の比較でいいですか？　（他は明らかでしょうから）

まず、同じような形に変形します。
（－６＋１０－２√10　）／２　と　（－６＋√１５）／２　となります。
１０－２√10　　と、√１５　の比較をすればよいので、（両方とも正なので）２乗してしまって、
１４０－４０√10　と　１５　を比較します。
１４０－５×８√10　と　１４０－５×２５　として、１４０以外の部分について
－８√10　と　－２５　を比較すればよいので、
－√640　と－√625　を比較して、右が大きいから、
２－√10＜－３＋√15／２

こんなもんで、どうですか？

お礼

回答ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.2

info22

#1さんの整数（√内の数の前後の2乗数とおいて、その開平で求めた前後の整数）で前後を挟む方法

近似値を近似式から求める方法
√a=√(b^2+x)≒b+{1/(2b)}x, b^2 はaに最も近い平方数
√10(=3.162)=√{(3^2)+1}≒3+1/6)*1=3.167
√15(=3.873)=√{(4^2)-1}≒4+(1/8)*(-1)=3.875
この方法は同じ整数範囲で挟まれる2数の比較に便利です。

近似値を挟みうち法で求める方法
（泥臭い方法で開閉計算法を知らない方向き）
3=√9＜√10＜√16=4
近似値x=3+(10-9)/(16-9)=3+(1/7)≒3.15
3.15^2=9.92 ←小さすぎる
3.16^2=9.99 ←まだ小さすぎるが殆ど近い
3.165^2=10.02 ←大きすぎるが殆ど近い
3.160＜x＜3.165
といった具合に挟み撃ちで必要な精度まで求めることが出来ます。

お礼

回答ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.1

ency

たとえば、

-2<2-√10<-1
5<2+√10<6
-4<(-3-√15)/2<-3
0<(-3+√15)/2<1

というように整数との大小を求めます。
そうすると、数直線を書くことができますよね。

で、この大小の求め方ですが、一番上だけやってみますね。

まず、
3<√10<4 は良いですよね？
ということは
-4<-√10<-3
両辺に2を足して
-2<2-√10<-1

同様に他についても、整数との大小を求めることができます。

もっと良い方法があるかもしれませんが、「こんな方法もありますよ」という意味で、参考意見としました。

お礼

回答ありがとうございます。
参考になりました。