反射律・対称律・推移律

質問

お世話になります。数学大嫌い男です。
やや数学っぽい本を見ていたら、反射律・対称律・推移律というのが書いてありました。
しばらくいくと次の問題がありました。

問「対称律と推移律が成り立つとき、対称律によって a～b ならば b～a,したがって推移律によって a～a となって反射律が成り立つという論法は誤りであることを説明せよ」

答「問題の論法は関係のついている元ａだけについて a～aを言ったにすぎない」

私にはチンプンカンプンです。
答も何を言っているのかわかりません。
だって本には簡単にしか書いてません。反射律・対称律・推移律の定義を私がよく分かっていないのかな？

どなたか分かる人がいらっしゃいましたら、お教えください。
数学嫌いの私でも分かるように、よろしくお願いいたします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

あぁ, 確かにひっかかりますね....
この問題を理解するためにはもちろん「反射律」, 「対称律」, 「推移律」を理解しなければならないんですが, 根底には「数学における『ならば』の意味」というポイントがひそんでいます.
日常での「A ならば B」という表現では, 「A が成り立たないとき」は考えていません. しかし, 数学における「A ならば B」は, 「A が成り立っているときには B も成り立つ」, つまり「A が成り立っていないときには B が成り立つかどうかに関係なく『A ならば B』は成り立つ」と解釈します. この, 日常と数学における「ならば」の意味の違いをきちんと理解しなければなりません.
さて, その上で「どの要素も (自分自身を含めて) どの要素とも関係を持たない」という関係 (日常用語では「関係」とはいわないけど, 数学ではこれも「関係」とみなします) を考えてみましょう.
まず対称律: 「全ての a, b に対し a～b ならば b～a」について考えます. 今考えている関係では, どの要素に対しても a～b は成り立ちません. このことから「全ての a, b に対し a～b ならば b～a」は成り立ってしまいます. ということは, この関係は対称律を満たします.
次に推移律: 「全ての a, b, c に対し a～b かつ b～c ならば a～c」ですが, これも同じように考えると満たしていることがわかります.
最後に反射律: 「全ての a に対し a～a」ですが, これは明らかに成り立ちません.
結局, 対称律と推移律では「ならば」を使っているのに対し反射律では「ならば」が出てこないことが差異として現れています.

う～ん, わかりづらそうだ.... どこがわからないか書いてもらえれば, 詳しく説明するかもしれません.

お礼

回答ありがとうございます。
うーん、うーん、日本語で書いてあるのに、む、難しい！
・・・・・
理屈はよく分かりませんが、定義は

反射律:全ての a に対し a～a
対称律:全ての a,b に対し a～b ならば b～a
推移律:全ての a,b,c に対し a～b かつ b～c ならば a～c

であって、問の文は

「全ての a,b に対し(a～b ならば b～a)」
「全ての a,b に対し((a～b かつ b～a) ならば a～a)」
の２つのことから
「全ての a に対し(a～a)」
は導かれないことを説明せよ。

ということで、答の文は

関係～を満たすaについては(a～a)であるけども
「全ての a に対しては(a～a)」ではないよ。

と言っているのかなぁ？

と書きながら、自分で何を言っているのかよく分からないまま書いている数学大嫌い男でした。
あ～あ、だめだこりゃ。

回答No.4

hugen

a～b ならば b～a 　　　　　-------------------(1) [対称律]
a～b ならば a～b 　　　　 -------------------(2)
(1) (2) より
a～b ならば ( a～b かつ b～a )　　　　　-------(3)
また,
( a～b かつ b～a ) ならば a～a　　　　　-------(4) [推移律より]
(3)(4) より
a～b 　ならば a～a　　　　　　　
----------------------------------------
これは、「a～b が成り立てば」という条件付きです。
a～b が成り立たない場合、　a～a　が成り立つことは　保証されない。

a～b を成り立たせる b が無い場合、
全ての b で　a～b　が成り立たないから
特に、　 b ＝a の場合として　　　　a～a　が成り立たない。

お礼

回答ありがとうございます。

「あるaとb」や「全てのa,b」が出てこない分、ほっとします。
結局、対称律と推移律からは「a～b ならば a～a」しか言えない、ということなんですね。
このことを他の回答者さんも更に詳しく説明して下さってたわけですね。

どうもありがとうございました。

回答No.3

tinantum

反射律は，
「全てのaはa～aを満たす」
ことです．
よって，反射律を証明したい場合は，全てのaに関してa～aを示さなくてはなりません．

これに対して，対称律をわかりやすく言い直すと
「あるaとbがa～bという関係を満たすならば，b～aも成立する」
というステートメントですので，全てのaに対して対称律を適用することができません．つまり，適当にとったaがとあるbと関係a～bを満たすとは限らないため，対称律を適用することができないのです（逆にいうと，とあるbと関係a～bを満たすようなaに関しては，対称律と推移律を用いて，a～aが証明できることにはなります．このことを，答にある「問題の論法は関係のついている元ａだけについて a～aを言ったにすぎない」と言っているのでしょう）．

具体的な～の例を挙げます．
3つの要素しかない集合{ｘ，ｙ，ｚ}に
下の図のように，x～yという関係を満たす場合は○，満たさない場合は×を用いて関係～を表してみました．
＼　ｘ　ｙ　ｚ
ｘ　×　×　×
ｙ　×　○　○
ｚ　×　○　○
（つまり，関係を満たすのは，ｙ～ｙ，ｙ～ｚ,ｚ～ｙ,ｚ～ｚの４つの場合のみです．）
これは，対称律も推移律も満たしていることはすぐに確認できます．
ところが，"ｘ～ｘ"は成立していないので，反射律が成立していない例となっています．（ｘはどの元とも関係を持たない場合なので対称律が適用できないわけです）

お礼

回答ありがとうございます。

「あるaとb・・・」ですかぁ。
「全てのa,bに対して・・・」しか頭になかったので、ますます混乱！

分からん！難しい！
せっかくの回答なのに理解できなくてすいません。

回答No.2

Tacosan

「問の文は～」のところは OK.
答えの方は, 「関係～を満たす a については」というのがちょっと曖昧です. ここは「a～b となる b が存在するような a に対しては」と, きちんと書いてあげるべきかと思います.
いずれにしても, 日常で使う「ならば」と数学用語としての「ならば」を, きちんと区別できれば結論にたどりつけるはずです.

お礼

回答ありがとうございます。

＞「a～b となる b が存在するような a に対しては」

こんなふうに考えなければいけないんですか。
数学のできる人の頭ってすごいものですねぇ。
数学大嫌い男はもう限界ですので、ここらで引き下がります。
どうもありがとうございました。