反射律、対称律、推移律の例を挙げたい

質問

反射律、対称律、推移律の下記例を挙げたいのですが、回答は正しいでしょうか。
（１）反射律であり、対称律でなく、推移律でない。
例）{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b)}
（２）対称律であり、反射律でなく、推移律でない。
例）{(a,b),(b,a),(c,c),(d,d)}
（３）推移律であり、反射律でなく、対称律でない。
例）{(a,b),(b,c),(a,c),(d,d)}

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

「反射律であり」とかいうのは日本語として変. 「反射的」という.
(2) と (3) はいいけど (1) はダメじゃないか? 推移的な気がするぞ.
(b, c) でも追加してやったら?

お礼

失礼しました。「反射的」か「反射律を満たす」ですね。
（１）は考えてみるとご指摘通り推移的だと思いました。なるほど(b, c)を追加する場合、更に(a, c)を追加すれば推移律を満たすが、(b, c)だけ追加する場合、推移的を満たさないということですね。有り難うございました。

回答No.2

t-h1970

こんばんわ。

せっかくなのでそういう結果だけではなくて何故そういう答えに至ったかも書いてみてください。

セミナー風に質問してみます。

回答(3)を見てみると
質問者さんは{(a,b),(b,c),(a,c),(d,d)}と考えた結果を書いてくださっています。

これは元は4つしかないということですか？
関係Rについては何か言及はありませんか？
aRb∧bRc⇒aRcは成り立ってそうですけど
aRc∧cRd⇒aRdについてはどうなんですか？

例えば
xはyの倍数である　x>y　この２つの関係を考えてみてください。
前者は推移律と反射律、後者は推移律のみを満たします。

{(a,b),(b,c),(a,c),(d,d)}の答えのみで上記した例２つの違いが説明できますか？
必要性と十分性は？

と質問に質問を返してみました。

どうでしょうか。

補足

ご回答有り難うございます。考えの過程を書いておりませんでしたので下記に必要条件を記載致します。
元は{a, b, c, d}の４つを想定します。なお、考える際は、まず有向グラフを書いて、以下の考えをベースに例を挙げました。
（１）反射律を満たす場合
「すべての元にループがついていること」
（２）対称律を満たす場合
「異なった要素どうしの矢印があるときは、両方ついていること」
（３）推移律を満たす場合
「矢印を二回辿って到達出来る元どうしには、直接矢印がついていること」

これをもとに（１）～（３）を考えると
（１）反射的であるために全ての元（a, b, c, d）をループさせる。対称律を満たさない為に異なる元どうしで片方だけ矢印を引く（a, b）。（それから抜けていましたが、）このままだと推移的になってしまうので、推移的でなくす為に更に(b, c)を引く。
（２）対称的にするために、異なる元どうしで両方に矢印を引く（(a, b), (b, a)）。以上が必要条件。(c, c)及び(d, d)はたまたま入れてみました。
（３）推移的にするために、異なる元３つで(a, b), (b, c), (a, c)をつくる。以上が必要条件。(d, d)はたまたま入れてみました。

関係Rの内容については、特に意識せずに作成してみました。