交換律と対称律の違い

質問

交換律と対称律はそれぞれ
a ・ b = b ・ a
a R b ⇒ b R a
などと表われていると思いますが、これらは別のものとして考えなければならないのでしょうか?

対称律に関しては、関係(順序関係、同値関係など)の文脈でのみ使われている気がするのですが
同じなら、名前を分ける必要もないだろうし、何が違うのかなぁと思っています。
もしかするとこれは、 = と ⇔ の違いが分かっていないという事なのでしょうか?
(確かにこれは、分かっていないのですが)

回答No.2

koko_u_u · ベストアンサー

a R b が真偽の 2値を返す関数だと考えれば、対称律は交換律の特殊なケースと言うこもできるでしょう。
しかし通常、特殊な状況になればなるほど、一般のケースでは成立しないおもしろい性質が得られるものです。
そういう意味で名前を分けることも無意味ではありません。

お礼

なるほど、値域と定義域が真理値に固定されているか、否かという事ですね。
言われてみるとあたりまえですが、その点あまりよく考えていませんでした。
おもしろい性質については、どうやら私自身が学習を進めないと理解できなそうですね。
ありがとうございました

補足

> なるほど、値域と定義域が真理値に固定されているか、否かという事ですね。
ちょっと間違えがありました。
値域だけが真理値に固定されていて、定義域は何でもいいですね

回答No.3

buenaarbol

No.1です。

算法と関係の拡張関係について、よく理解しておらず、間違った誘導をしてしまったようですね。私の不明でした。

Wikipediaの「算法」の項に算法（演算）と関係の拡張関係について議論が載っておりましたので、そちらを参照して勉強させて頂きます。

回答No.1

buenaarbol

交換律は、二項「演算」のある性質を、
対称律は、二項「関係」のある性質を表しています。
演算と関係は次元の違うものですので、交換律と対称律も別物と考えるといいと思います。

関係とは、二つの要素間に存在する性質のことを指します。

例えば、Rを「同一人物である」という関係であるとすると、
aRb(aさんとbさんが同一人物)が成り立つならば、bRa(bさんとaさんは同一人物)は必ず成り立ちます。したがってaRb　⇒　bRa　となり、この関係は対称律を持ちます。

一方、演算とは、二つの要素から新たな要素を産む出す操作と言っていいと思います。

例えば、演算・を「二人の間の子供」と定義すると、
(c・d) R (d・c) (ｃさんとdさんの間の子供 は　ｄさんとｃさんの間の子供と同一人物)
となるので・は交換律を持ちます。

交換律を持つ演算・と、対称律を持つ関係Rの違いが上記からわかりますでしょうか。

お礼

> の、産み出すが、No2 の方のおっしゃっている様に「定義域が真偽値ではない」という事であれば、納得できます
間違えがありました。
誤「定義域が真偽値ではない」
正「値域が真偽値ではない」
ですね

補足

> 一方、演算とは、二つの要素から新たな要素を産む出す操作と言っていいと思います。
の、産み出すが、No2 の方のおっしゃっている様に「定義域が真偽値ではない」という事であれば、納得できます

> 演算と関係は次元の違うものですので、交換律と対称律も別物と考えるといいと思います。
ここは難しい問題だと考えています。
数学においては、意味を考える事が重要な場合と、形式を考えるのが重要な場合両方があると思っています。
おそらく、演算と関係の意味に注目しているのだと思いますが、例えば群論など考えると、足し算、掛け算などの形式にしか注目していないと思いますし、それによって全々関係ないと思っていた事の共通点を発見したり、意味だけを考えていては、なかなか分からない事を明かにしたりしていると思うので