関係とグラフについてですが…

質問

三角形ＡとＢが合同であることは同値関係であること
を示すにはどうしたらいいのでしょうか？

反射律・対称律・推移律をどのように適用したら
いいのかわかりません。

また、オイラーグラフとオイラー経路ではあるが
オイラー閉路ではない・・・とはどういうこと
でしょうか？
オイラーグラフとオイラー閉路の違いがイマイチ
よくわかりません。

以上の２つのことについてどなたか教えて下さい。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

三角形が合同であることを示すのに、幾つかのやりかたがありますけれど、「３つの辺の長さが同じ」というのを使うことにしましょう。つまり、
定義：「三角形Bが三角形Aの辺a,b,cと同じ長さの３辺を持つ」ことを「三角形Bは三角形Aと合同である」と言う。
ということにしましょう。

例えば対称律について。
普段、「三角形Bが三角形Aに合同である」をA≡Bと書いても、B≡Aと書いても構わないのは、三角形の合同が対称律を満たすことを前提にしているからです。しかしここでは「三角形の合同が対称律を満たすこと」をこそ証明したいのだから、A≡BとB≡Aは別物として厳密に区別しなくちゃいけません。そこで
「三角形Bは三角形Aと合同である」をA≡Bと書く。
と決めましょう。

　さて、任意の三角形Aについて、ある三角形Bが存在して、A≡Bであったとする。
　BはAと合同であるから、定義により、BはAの辺a,b,cと同じ長さの３辺を持つ。それらをそれぞれd,e,fとすれば、
aの長さ=dの長さ
bの長さ=eの長さ
cの長さ=fの長さ
である。ゆえに、AはBの辺d,e,fと同じ長さの３辺を持つ。ゆえに定義により、AはBと合同である。だからB≡A。以上から、「任意の三角形A,Bについて、もしA≡Bであるならば、B≡Aである」が示された。

　閉路とは、閉じた路（サイクル）です。つまりワッカになっていて、どこから出発しても元に戻って来るような路のことです。（ワッカと言っても、丸ばかりじゃなくて、例えば同じノードを２度通って８の字になっていても良いのです。）
　オイラー路とは、グラフの全ての辺を1度だけ通る路のことです。
　オイラー閉路とは、閉路であってオイラー路であるもの。だから「オイラー路であるが、オイラー閉路ではないもの」とはワッカになっていないオイラー路ですね。（オイラー路であるから、８の字になってることはありえません。）
　オイラーグラフとは、オイラー閉路を含むグラフのこと。（オイラー閉路以外の「余計な」辺があっても構いません。）