反対称律について

質問

Rは整数Z上の関係で、(a, b) ∈ R, b=2^aのとき関係Rは反射的か、対称的か、推移的か、反対称的か。と問題に対し、答えが×、×、×、○となっています。反対称的というのは(a, b) ∈ R, aRb ^ bRaが成り立つならばa=bであるというのが定義だとは思いますが、理解出来ません。もし理解出来る方がいらっしゃったら教えて下さい。宜しくお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

「p ならば q」は「p が成り立っていないか q が成り立っている」ということを意味します.
つまり, 「b = 2^a かつ a = 2^b」であるような a, b が存在しないとすると, 命題「b = 2^a かつ a = 2^b ならば a = b」は自動的に成り立ちます.
「方程式が同じだから値も同じ」は勇み足ですよ＞#2.

お礼

ようやく理解出来ました。
条件命題p→qにおいてはpが偽の場合はqの真偽に関わらず常に真となるということですよね。b=2^aとすると、a=2^(2^a)となってしまいやはりこれはあり得ないので、そもそもpが偽となり自動的に成り立つと理解しました。
有り難うございました。

回答No.6

Tacosan

a - 2^(2^a) のグラフを描くときに「整数を適当に代入しても右辺と左辺が同じにならないのでグラフ化ができません」というのは, 何を言っているのでしょうか? そもそも a - 2^(2^a) の「右辺」とか「左辺」って何? 「x^2+1 のグラフを描きなさい」と言われて, 同じようにしますか?
まあ, 2^(2^a) は a によらず正なので a ≦ 0 なら a = 2^(2^a) となることはありえませんし, a > 0 なら a = 2^(2^a) と log_2 a = 2^a が同値なので y = log_2 x と y = 2^x のグラフを描けばいいんだけどね.

お礼

了解しました。
ご回答有り難うございました。

回答No.5

Tacosan

全然ダメ.
「全ての実数 a に対し a = 2^(2^a)」が偽であることを証明するなら a=1 を代入するだけでいいんですが, 今やろうとしているのはそういうことではありません.
実際, 「a = 2^(2^a) がありえない」というのを数学用語で表現すると
「a = 2^(2^a) であるような実数 a は存在しない」
あるいは
「全ての a に対し a ≠ 2^(2^a)」
です. これを示すのに a = 1 のときだけ書いても無意味.
で, 簡単には a - 2^(2^a) のグラフでも描いてみてください.

お礼

ご指摘有り難うございます。
存在しないのと全ての実数において偽であることを証明するのは確かに全然違うことでした。
グラフなのですが。。整数を適当に代入しても右辺と左辺が同じにならないのでグラフ化が出来ません。。a-2^(2^a)=0の形にして、a=０のときに左辺は－２となり-2≠0で矛盾する、a>０のときに2^(2^a)は必ずa自体より大きくなるため左辺が負となるため矛盾する、a<0のときには。。（ちょっと私には難しいのですが）といった場合分けでそれぞれ矛盾を証明するのでしょうか。

補足

ご指摘有り難うございます。
存在しないのと全ての実数において偽であることを証明するのは確かに全然違うことでした。
グラフなのですが。。整数を適当に代入しても右辺と左辺が同じにならないのでグラフ化が出来ません。。a-2^(2^a)=0の形にして、a=０のときに左辺は－２となり-2≠0で矛盾する、a>０のときに2^(2^a)は必ずa自体より大きくなるため左辺が負となるため矛盾する、a<0のときには。。（ちょっと私には難しいのですが）といった場合分けでそれぞれ矛盾を証明するのでしょうか。

回答No.4

Tacosan

念の為ですが, 「a = 2^(2^a) がありえない」というなら, その根拠を示さないと危険だと思います. ちゃんと示せますか?

お礼

補足して頂き、有り難うございます。なるほどご指摘の通り自明だと決めつけるのは危険でした。

偽を証明する場合は、反例を挙げるというやり方でも構わないですよね？
それであれば、a=1のとき、2^(2^a)は4となり、1≠4の為成り立たない、と思ったのですが如何でしょうか。

回答No.2

ojisan7

>>a=2^(2^a)となってしまいおかしいような気がします。
どこがおかしいですか。別におかしなところかありませんが。でも、これは超越方程式ですからaを求めるのはちょっとむずかしいですね。ところで、bもb=2^(2^b)となり、同じ方程式を満たします。方程式が同じだから、解も同じです。だから、a=bとなります。

回答No.1

Tacosan

せっかく定義があるんだから, それに従ってチェックすればいいのに.

お礼

有り難うございます。b=2^aでかつa=2^bが成り立つケースが思い浮かばないのですが。。そもそも、b=2^aであれば、a=2^(2^a)となってしまいおかしいような気がします。