同値類 商集合

質問

反射律、対称律、推移律を満たす二つの集合を同値関係と呼ぶということは分かったのですが、同値類と商集合の説明が本やネットで調べてみても、抽象的すぎてよく分かりません。
できれば中学や高校くらいの題材で同値類と商集合の例をあげていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.3

zk43

集合を同値類別するというのは、友達の友達はまた友達だというように
仲間をつくって、それぞれの仲間を同値類、同値類全体を商集合という
のです。

例えば、地球上の陸地の２地点間を陸路で結べる場合は、この２地点は
同値というときは、地球上の陸地の各地点は大陸や島などの同値類に類
別され、この同値類全体が地球上の陸地の各地点の商集合となる。

整数は偶数・奇数に分類されるが、これは２つの整数の差が２で割り切
れる場合に同値という関係によって分類されたものである。
つまり、a-aは2で割り切れ、a-bが2で割り切れるならb-aも2で割り切
れ、a-bとb-cが2で割り切れるならa-cも2で割り切れるので、この関係
は同値関係になっている。そうすると、ある数を基点として左右に差が
2のものをすべて集めたものが一つの同値類であり、結局、
A={・・・,-4,-2,0,2,4,・・・}
B={・・・,-3,-1,1,3,5,・・・}
が整数全体の集合の商集合になっている。
つまるところ2で割って余りが0か1かで分類している。
この辺から「商」という名がついたのかな？

お礼

大変参考になりました。
商集合というものが理解できました。
丁寧にありがとうございます。

回答No.2

funoe

同じクラス。
　私と私は同じクラス。
　私とあなたが同じクラスなら、あなたと私は同じクラス。
　Ａ君とB君が同じクラスで、B君とＣ君が同じクラスならA君とC君は同じクラス。
　学校の生徒を「同じクラス」という同値関係で割った時、商集合は、
「クラス名」とでも呼ぶものになるかな。
　（同じクラスの仲間達をまとめて呼ぶときの呼び名のこと）

他には、
最寄り駅が同じ。

同じ血液型。

同じ部活（兼部はなし）。

とかの、「同じ＊＊」は多くの場合、同値関係。

お礼

具体的な例で簡潔に説明していただいてわかりやすかったです。
どうもありがとうございます。

回答No.1

kabaokaba

具体例を構築できないのは理解ができてない，
すくなくとも咀嚼できていないということです．

簡単な例：
ベクトル・合同式・図形の合同・図形の相似

ベクトルは
始点と終点がある有向線分全体の集合で
「始点を原点に移動したら重なるもの」を同一視したもの

合同式は
整数を「ある数で割ったときの余りが等しいもの」を
同一視したもの

図形の合同は
図形全体を「回転・対象・平行移動で重なるもの」を
同一視したもの

図形の相似は
図形全体を「回転・対象・平行移動・拡大で重なるもの」
を同一視したもの

「等しい」と判断できるものは
すべからく「同値関係」とそれによる「商集合」です．

数学から離れてすこしいい加減な例：
果物の種類
りんご・みかん・なし・ばなな，などなど
「りんご」といった場合，具体的なりんご一個とかをさすのではなく
ある一定の条件をみたすもの全体をさすことがあります．
ばなななんかでも同じ．
「果物」という大きな集まりの中で，
「種類に分ける」という
同値関係で「商集合」を構築するようなものです．

実は同値関係と商集合は大して面倒な概念ではないのです．
要は「何かの基準」で分類することを厳密にしただけです．

お礼

いくつもの具体例をあげていただいて本当に参考になりました。
同値関係、商集合が身近に感じられるようになりました。
どうもありがとうございました。