同値関係の証明問題

質問

継続的:∀a∃b[aRb]，対称的:∀a,b[aRb→bRa]，推移的:∀a,b,c[aRb∧bRc→aRc]な関係は同値関係であることを示せ

上記３つの関係を用いて反射律を求めればよいと思うのですが、継続律の使い方がわかりません、対象律、推移律だけで反射律を求めることはできたのですがそれでは証明の題意を満たしませんし・・・。回答お願いします。

回答No.2

gatch_ky · ベストアンサー

対象律、推移律だけで反射律を求めることはできません。
aに対して。
aRb　となるbが存在する。（継続的より）-(1)
bRa である（対称的より）-(2)
(1)(2)よりaRa（推移的より）

継続律がなければbが登場できません。

お礼

ご回答ありがとうございます。おかげで理解できました。

回答No.4

gatch_ky

looseboyさんの証明の間違いを指摘させていただきます。
>∀a,b[aRb→aRa]
>ゆえに
>∀a[aRa]…反射律
とありますが。
∀a,b[aRb→aRa]、は正しいが、
だからといって∀a[aRa]とはなりません。

「もし戦争になれば、命を懸けて君を守るよ」
は戦争が起こらなければウソにはなりません。
「命を懸けて君を守るよ」
はそのとおりにしないとウソになります。

お礼

さらに詳しく教えてくださりすみません。もう一度よく考えてみます。

回答No.3

koko_u_

>∀a,b[aRb→aRa]
> ゆえに
> ∀a[aRa]…反射律

なぜ最後の最後で論理が飛んでしまうのでしょうか。
冷静になりたまえ。

>問題は継続的、対称的、推移的な関係が同値関係であることの証明なので
>全てを用いて反射律を求める必要があります。
蛇足ですが、一般論として
条件全てを用いて反射律を求める必要があるわけではありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。確かに改めて考えると変でした。

回答No.1

koko_u_

>対象律、推移律だけで反射律を求めることはできた
ではそれを補足に。

>それでは証明の題意を満たしません
なぜですか？それも補足に。

補足

∀a,b[aRb→bRa]…(1)対称律
∀a,b[aRb→aRb]…(2)恒等式
(1),(2)より
∀a,b[aRb→aRb∧bRa]…(3)
∀a,b,c[aRb∧bRc→aRc]…(4)推移律
(4)より
∀a,b[aRb∧bRa→aRa]…(5)
(3),(5)より
∀a,b[aRb→aRa]
ゆえに
∀a[aRa]…反射律　　(証終)

こんな感じです。これが間違ってたらダメなんですが・・・。

問題は継続的、対称的、推移的な関係が同値関係であることの証明なので全てを用いて反射律を求める必要があります。上記の証明で推移律を使うならどこで用いるのだろうかとも考えましたが思いつきませんでした。ほかに証明の仕方があればぜひ回答よろしくお願いします