極限

質問

lim ( x → ∞ ) logx / x = ( 1 / ∞ ) = 0
なぜ、0になるのか教えてください。logx が1になるのがわかりません。
それと、lim ( x → 0 ) logx / x 　の場合はどうなるのでしょうか。
お願いします。

回答No.5

proto · ベストアンサー

＞lim ( x → ∞ ) logx / x = ( 1 / ∞ ) = 0
と書かれてますが、別にlogxが1になるから1/∞で0になるわけではないですよ。
∞/∞の形でも0に収束することはあります。

簡単な例で
　　lim[x→∞]{(x+2)/(x^2+1)}=0
でも、0に収束していますが、別にx+2 → 1となって、1/∞になるわけではないですよね。
ようは、分母も分子もxが大きくなればどんどん大きくなる、無限まで大きくなるわけだけど、xよりx^2の方が大きくなるのが早いから0に収束するわけですよね。
逆の言い方をすると、xの増える速さではx^2の増える早さには追いつけないのです。
自動車で新幹線を追いかけるようなもんです。

質問の式でも同じことが言えます。
logxの増える速さではxの増える早さに追いつけないのです。
グラフを描けばわかるのですが、y=xのグラフは一定の割合でどんどん増えていきますが、y=logxのグラフはxが大きくなるほど増える幅が小さくなって伸び悩んでますよね。
だからlogxの増える速さでは、xの増える早さにはかなわない。
割合を取れば、最終的には0に収束してしまう、というわけです。

数学的な証明は他の方も書かれてますが、考え方・イメージとしてはこんな感じです。

お礼

解答ありがとうございます。そうですか、わかりました。
では、lim ( x → ∞ ) logx / x =　0　ならばいいんでしょうか？

回答No.4

tarame

裏技「logｘ＜2√ｘ」を利用します。
【証明】
ｆ(x)＝2√x－logx とおくと
ｆ’(x)＝1/√x－1/x＝(√x－1)/x
x＞1 のとき ｆ’(x)＞０だから
x＞1 のとき f(x)＞f(1)＝2＞0
よって、ｘ＞1 のとき　logｘ＜2√ｘ
【極限】
ｘ＞1 のとき
０＜logｘ＜2√ｘ だから　０＜(logx)/x＜2√x/x
lim(x→∞)2√x/x＝lim 2/√x＝０だから
はさみうちにより証明できます。

お礼

解答、ありがとうございました。

回答No.3

kumipapa

＞　lim(x→∞) (log(x)/x) (= 1/∞) = 0
うーん、ロピタルの定理でしょうか・・・
lim(x→∞)f(x)/g(x) = lim(x→∞) f ’(x)/g ’(x) を利用して
lim(x→∞) (log(x)/x) = lim(x→∞) ( (log(x)) ’ / (x) ’ ) = lim(x→∞) 1/x = 0
ロピタルの定理は、むやみやたらと使えるわけでもないので、検索して調べてみたらいかがでしょう。
説明や証明が多く見つかります。
ロピタルの定理に頼りきっているとアホになると言う方もいらっしゃって、たとえば、
lim(x→∞）(x / e^x) = 0　　（∵ 0 ＜ lim(x→∞）(x / e^x) ＜　lim(x→∞）(2^x / e^x) ＝ lim(x→∞）(2 / e)^x = 0 )
において t = e^x とおくと、x = log t で、x→∞ のときt→∞ で、
lim(x→∞）(x / e^x) = lim(t→∞) (log(t) / t) = 0
と求めることもできます。

＞　lim(x→0) (log(x)/x)
x→+0 のとき、log(x) → －∞、1/x → +∞。その積なんだから、log(x)/x → －∞

お礼

解答ありがとうございました。

回答No.2

ILOVMIKI39

＞logx が1になるのがわかりません。

私も分かりませんがlogｘが有限数で有る限りは分母が無限大になれば解は０だと思います。

＞lim ( x → 0 ) logx / x

たしか分母が０は計算式としては認められていないのでは？

お礼

そうですか、ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

>logx が1になるのがわかりません。
ロピタルの定理を使っているのかもしれませんが、この文脈からは誰にも判断できません。

>lim ( x → 0 ) logx / x 　の場合はどうなるのでしょうか。
プラスからゼロに近づくとして、結果は明らかだと思いますが。

お礼

解答ありがとうございました。