１９９７年センター試験(追)のベクトルの問題

質問

問題の解釈がわかりません。
以下、問題文です。(必要な箇所のみ書きます。)
正四面体OABCにおいて、辺OAを４：３に内分する点をP、辺BCを５：３に内分する点をQとする。
線分PQの中点をRとし，直線ARが△OBCの定める平面と交わる点をSとする。
AR：ASの比を求めよ。

解答を見ると、点Sは線分OQ上にあります。これはどういう解釈ですか？
問題文には、点Sは直線ARと△OBCの平面との交点だと書いてあるだけだと思うのですが・・・

初歩的な質問で申し訳ありません。わかりやすくお願いします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

No1です。
△ＯＡＱを考えれば、ＰはＯＡ上の点ですよね。
また、ＰＱは△ＯＡＱ上にあるから、ＰＱの中点である
点Ｒも△ＯＡＱ上にありますよね。
だから、ＡＲを延長していけば△ＯＡＱの辺ＯＱと交わります。
一方、ＯＱは△ＯＢＣ 上にあるわけだから、直線ＡＲと
△ＯＢＣ の定める平面と交わる点ＳはすなわちＯＱ上に
あるといえます。

Ｏ，Ａ，Ｑを通る断面をかいてみてください。

（そういうことをきいているんじゃないのでしょうか？）

お礼

こんなに早く補足へ回答して下さって、ありがとうございます。
丁寧に説明していただいたおかげで、ようやくわかりました。
あたりまえのことだったのですね。これを機に精進します。

回答No.2

Meowth

a=OA, b=OB, c=OCとすると、
OP=4/7a
OQ=(3b+5c)/8
OR=(OP+OQ)/2=(32a+21b+35c)/112
直線AR:x=a+tAR=(1-t)a+t(32a+21b+35c)/112
={(112-80t)a+21tb+35tc}/112
SはこれがBC上にある
112-80t=0
t=7/5
OS=7{3b+5c}/80
OS=7/10OQだからSはOQ上
AR=(-80a+21b+35c)/112
AS=7{-80a+3b+5c}/80
AR:AS=1/112:7/80=5:49

お礼

問題を解いて頂いて、ありがとうございます。
親切な回答で感謝しています。

回答No.1

debut

ＡとＱ、ＯとＱを結んでみれば、Ｐ，Ｒは△ＯＡＱの定める
平面上にあります。
ＡＲを延長するとＯＱに交わり、しかもＯＱは△ＯＢＣ の
定める平面上にあります。

補足

早速の回答をありがとうございます。
質問です。
ARの延長線が何故、OQと交わると言えるのですか？
ここがわからなかったところです。申し訳ありません。