ベクトルの問題です。よろしくお願いします

質問

四面体OABCがあり、辺OAを２：１に内分する点をM、三角形BCMの重心をG、
直線AG、平面OBCとの交点をNとする。

（１）AN：GNを求めよ。

（２）四面体OABC、GNBCの体積をそれぞれV１、V2とするとき
　　　V1分のV2の値を求めよ。

解き方が全然分かりません。
解説していただけるとありがたいです！

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

図を書いてください．以下では図，ベクトル記号を省略します．

OA=a,OB=b,OC=c

とおきます．

OM=(2/3)OA=2a/3

ですから，

OG=(OB+OC+OM)/3=(b+c+2a/3)/3

=2a/9+b/3+c/3

Nは直線AG上にあるから，

AN=tAG=t(OG-OA)

=t(2a/9+b/3+c/3-a)

=-7ta/9+tb/3+tc/3

ON=OA+AN=a-7ta/9+tb/3+tc/3

=(1-7t/9)a+tb/3+tc/3

Nは平面OBC上にあるからONはb,cだけで表せます．

1-7t/9=0
t=9/7

このとき

ON=(3/7)(b+c)=(6/7){(b+c)/2}

辺BCの中点をDとすると

ON=(6/7)OD

また，

AN=(9/7)AG

（１）

AN：NG=9：(9-7)=9：2

（２）四面体XYZWの体積をV(XYZW)と書きます．

V(GNBC)=(GN/AN)V(ANBC)（∵△NBCを底面とすると高さの比GN/AN）
V(ANBC)=(ND/OD)V(OABC)（∵△ABCを底面とすると高さの比ND/OD）

∴V_2=V(GNBC)=(GN/AN)(ND/OD)V(OABC)

=(2/9)(1/7)V_1=(2/63)V_1

V_2/V_1=2/63

お礼

ありがとうございます！
とても助かりました。