割り算の問題

質問

a,bを自然数とし、aを8で割った余りをr、bを8で割った余りをsとする。
a＋bを8で割った余りとr＋sを8で割った余りが等しいことを示せ。

【解答】
a,bをそれぞれ8で割ったときの商をp,qとすると、
a=8p＋r
b=8q＋s とあらわせる。
よってa＋b=8(p＋q)＋r＋s　　　証明完了」

どうしてこれで証明完了なんでしょうか？これではa＋bを8で割ったら余りがr＋sということだけしか分からないのではないですか？
どうして余りが等しいということが言えるのでしょうか？

回答No.3

keroro001 · ベストアンサー

a＋b=8(p＋q)＋r＋s
では
a＋bを8で割ったら余りがr＋sなどとはならないかと。
両辺を８で割るとわかるのかな？
(a+b)/8 = (p+q) + (r+s)/8
つまり(a+b)/8の商は(p+q) + (r+s)/8（ただし余りも含む）です。
商は自然数ですので(p+q)は自然数。
ここで余りが発生するのは (r+s)/8の余りだけです。
つまり(a+b)/8の余りは(r+s)/8の余りとイコールです。

回答No.6

kapiyoko

a＋b=8(p＋q)＋r＋s
という最後の式の表していることは
a＋bは8の倍数＋(r＋s)
ということなので
それを8で割ったときの余りを求めると
8の倍数の部分は割り切れるので
r+sを8で割ったときの余りと一緒だよ
ということです。
どうでしょうか。

回答No.5

mira_jun

r+sを8で割った商をt、余りをuとすると、
r+s=8t+u
と表せます。
よって、
a+b=8(p+q)+r+s=8(p+q)+8t+u=8(p+q+t)+u
となるので、
a+bを8で割った余りもuとなります。

ここまでで完了とすべきですかね。どうでしょう。

回答No.4

sunasearch

a＋b=8(p＋q)＋r＋s

から、(p+q)は８で割り切れますよね。

ですから、a+bを８で割った余りは、残りのr+sを８で割った時の余りに等しくなる、ということです。

８で割るということは、何かを８人で分けっこして、余った分が余りとして考えられます。

8(p+q)は、一人にp+qずつ８人に余りなく分けられます。

r+sは、８より小さければ、それがそのまま余りになりますが、８以上の場合には、r+sを８人で分けて、その時の残りが余りになります。

ですから、a+bを８で割った時の余りは、r+sを８で割った時の余りに等しくなるので、もともとの問題の証明ができたことになるのです。

回答No.2

fine_day

たとえば、r＋sを8で割った商がt、余りがuとします。
r＋s=8t＋u

これを代入すると
a＋b=8(p＋q)＋r＋s
　　=8(p＋q)＋8t＋u
　　=8(p＋q＋t)＋u

これより、a＋bを8で割った余りはr＋sを8で割った余り(u)に等しいことがわかります。
【解答】はその先は書かずともわかる…と言いたいのかもしれませんね。

回答No.1

ymmasayan

ここまで書くとあとは自明の理ということでしょう。

もう一行付け加えると、余りを出す演算子を％で表すとすると
(ａ＋ｂ)％８＝（８(ｐ＋ｑ)＋ｒ＋ｓ)％８＝(ｒ＋ｓ)％８・・・証明完了