対数の計算

質問

e^-λt　に λ=loge(2/T)　を代入して整理するとどのような結果になるのでしょうか。

(T/2)^-t　で良いのでしょうか。

回答No.3

noname#57316 · ベストアンサー

放射能の半減期と崩壊定数の関係ですね。
半減期をTとして、崩壊定数、λ=loge(2)/T　ではないですか？

放射性原子核一個が単位時間に崩壊する割合は
[-{dN(t)}/dt]/N(t)=λ
と定義されます。
これから、-d[loge{N(t)}]/dt=λ
この式を、ｔ=0からt=T（つまり半減期）まで、tで積分すると
T=0の時の放射性原子核の数を、N(0)として
loge{N(0)}-loge{N(T)}=λ・T　　(1)
または、N(T)=N(0)・e^(-λT)　が導かれます。
この λに、loge(2)/T　を代入すると
N(T)=N(0)・e^[{-loge(2)/T}T]=N(0)・e^{-loge(2)}=N(0)/2
半減期だから当然ですね。
N(t)=N(0)・e^(-λt)　の場合は、
N(t)=N(0)・e^[{-loge(2)/T}t]
=N(0)・e^[{-loge(2)}・(t/T)]=N(0)・(1/2)^(t/T)　です。

つまり、e^-λt　に λ=loge(2)/T　を代入すると、(1/2)^(t/T)　となります。

お礼

ありがとうございました。とても助かりました。

回答No.2

noname#56760

-λt=-tloge(2/T)=loge(2/T)^(-t)

e^(-λt)=e^{loge(2/T)^(-t)}=(2/T)^(-t)=(T/2)^t
です。

回答No.1

proto

xの自然対数をln(x)と書きますね。

　　e^(ln(x)) = x
と
　　e^(-λt) = (e^λ)^(-t)
より

　　e^(-λt) = (e^λ)^(-t) = (e^(ln(2/T)))^(-t)
　　　　　　 = (2/T)^(-t) = (T/2)^t
です。
式の変形をひとつずつ落ち着いてやっていくといいですよ。