自然対数e

質問

次の、

f(x) = e^x - e^-x の場合、f^-1(x)は存在するか？
（ヒント：定義より、f(f^-1(x)) = x を参考）

という設問なのですが、

f(f^-1(e^x - e^-x )) = e^x - e^-x

と代入してみましたが、どうやっても存在しない結果になってしまいます。
やはり存在しないで合ってるのでしょうか？
ちょっと自信（薄）なので、アドバイスをいただけたらと思います。

回答No.3

kkkk2222

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本論
＞＞f^-1(x)は存在するか裏がして思考すると、＜逆函数が存在しない＞の意味を記述します。これは、逆函数が多価関数になると、解釈します。これでは判りにくいので、簡単な例をかきます。Ｙ＝Ｘ＾２の逆関数は、形式的にＹ＝±√Ｘとなり、ひとつのＸに対して２つのＹが存在することになり、これを以って＜逆函数が存在しない＞となります。逆関数を求めて、それが只ひとつの関数となれば終了とも言えます。また、元の関数Ｙ＝Ｘ＾２が＜単調増加であれば＞＜逆函数が存在する＞とも言えます。Ｙ＝Ｘ＾２は明白に＜単調増加ではないので＞逆関数が存在しないは計算不要ともいえます。

本問題では単に＜逆関数は存在するか＞ときいているので＜逆関数の算出は不要＞であり、元関数が＜単調増加＞である事を示せば充分と、思います。

f(x) = e^x - e^-x　が ＜単調増加＞であることを示します。
f’(x) = e^x ＋ e^-x＞０　これで終了です。
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ちょと気になる点があって、もう少し考察します。
＞＞ヒント：定義より、f(f^-1(x)) = x
これは、事実ですがＨＩＮＴとしては、余り意味がなく、原文に記載されている、とは思いますが・・・＃２様がＨＩＮＴを使用されています。通常は逆関数を求めるさい、このような使用はしません。
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次に　f(f^-1(x)) = x 　となることは明白ですが、確認したくなり、既に＃１様と＃２様が同一解を算出されていますが、自分でも算出しました。当然ＯＫでした。f(f^-1(x)) の計算に入りましたが、変形できず挫折しました。
やむをえず(f^-1(f(x)) = x も成立するので、これで計算して見ました。
log（1/2)【x+√(x^2+4)】 のxをe^x - e^-xと置き換える事になります。　
P=【x+√(x^2+4)】
=【（e^x - e^-x）+√（((e^x - e^-x）^2)+4)）】
=【（e^x - e^-x）+（e^x + e^-x）】
=【2（e^x)】
Q=log（1/2)【2（e^x)】
=log【e^x】
=x と　ＯＫ。
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最後に補足として　f(x) = e^x - e^-x　の正体を記述して終わります。
g(x) = （1/2)(e^x - e^-x)は　双曲線関数とよばれ、　双曲線関数はＣＯＳ、ＳＩＮ、ＴＡＮと良く似た美しい性質を持っています。３種類の双曲線関数のひとつは h(x) = （1/2)(e^x+e^-x)であり、懸垂線ともカテナリーとも呼ばれます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%86%E3%83%8A%E3%83%AA%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A
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回答No.2

zk43

y=f^-1(x)を求めます。
両辺のfをとると、
f(y)=f(f^-1(x))=x
より、（ここでヒントを使っている）
e^y-e^-y=x
両辺にe^yを掛けると、
e^2y-1=xe^y
e^2y-xe^y-1=0
ここで、X=e^yとおくと、
X^2-xX-1=0
これはXに関する２次方程式なので、
X={x±√(x^2+4)}/2
e^y={x±√(x^2+4)}/2
右辺はマイナスの符号のときはマイナスになってしまうので、
プラスの符号をとって、
e^y={x+√(x^2+4)}/2
（指数関数は正です）
両辺の対数をとると、
y=f^-1(x)=log{x+√(x^2+4)}/2

回答No.1

imopro

存在しますよ。
f(x)の逆関数f^-1(x)は、
　f^-1(x) = log((x+√(x^2+4))/2)
です。
異なる任意の定数a1,a2に対して、f^-1(a1)≠f^-1(a2)ですから関数と言えます。
因みにf(x)とf^-1(x)のグラフはy=xのグラフに対して対称です。