積分の証明

質問

f(x)は連続関数であり任意の実数xに対して∫(-x→х)f(x)dt=sin2xを満たすとする。x≧0の時 不等式∫(-х→х){f(t)}^2dt=x+1/4sin4xを示せ。について教えてください

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

∫(-x→х)f(x)dt=sin2x
∫(-х→х){f(t)}^2dt=x+1/4sin4x
は、それぞれ
∫(-x→х)f(t)dt=sin2x
∫(-х→х){f(t)}^2dt ≧ x+1/4sin4x
の書き間違いですね。

f(t) + f(-t) = 2cos(2t)
が成り立ちますので、これを利用しましょう。
{f(t)}^2の積分があるので、まずは上の関係式の両辺を二乗してみます。
{f(t)}^2 + {f(-t)}^2 + 2f(t)f(-t) = 4{cos(2t)}^2
次に積分するのですが、積分範囲はとりあえず0～xで積分してみます。
∫(0→x) ({f(t)}^2 dt + {f(-t)}^2 dt + 2f(t)f(-t)) dt = ∫(0→x) 4{cos(2t)}^2 dt
これを変形すると
∫(-x→x) {f(t)}^2 dt + 2∫(0→x) f(t)f(-t) dt = 2x + (1/2)sin(4x)
示したい不等式にかなり近づいてきましたが、f(t)f(-t)の積分が残っています。
しかし、任意のtについて
f(t)f(-t) ≦　{f(t) + f(-t)}^2 / 4 = {cos(2t)}^2
なので、
∫(0→x) f(t)f(-t) dt ≦ ∫(0→x) {cos(2t)}^2 dt
となり、目的の不等式を示すことができます。

お礼

質問が間違えてしまいご迷惑かけてすいません。

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.1

yyssaa

∫f(t)dt=F(t)+C(定数)とするとf(t)=dF/dt
∫[-x→x]f(t)dt=F(x)-F(-x)=sin2x、xで微分して
dF/dx+dF/dx=2cos2xからdF/dx=cos2x
変数をtとしてf(t)=cos2tから{f(t)}^2=cos^22t
∫[-x→x]{f(t)}^2dt=∫[-x→x]cos^22tdt=2∫[0→x]cos^22tdt
2t=sとして2dt=ds
2∫[0→x]cos^22tdt=∫[0→2x]cos^2sds
cos2s=cos^2s-sin^2s=2cos^2s-1からcos^2s=(1+cos2s)/2
∫[0→2x]cos^2sds=∫[0→2x]{(1+cos2s)/2}ds
=∫[0→2x](1/2)ds+(1/2)∫[0→2x]cos2sds
=(1/2)(2x-0)+(1/2){(1/2)sin2s}[0→2x]
=x+(1/4)sin4x