ガロア理論:分解体に関する疑問

質問

下の定理について,よくわからないのでどなたかわかる方教えてください.
分解体の存在定理:
体Fの多項式f(x)には必ず分解体が存在する

1.この定理の意味はどのような考え方に基づいているのでしょうか.間違って理解しているのかも知れません.
　1)分解体が存在すれば,f(x)は一時多項式の積として表せるということですが,一次多項式の積として表せるのであれば,すべての方程式が解けるということと同義ではないのでしょうか
　2)体の拡大をいう場合既知の数例えば√2を基に行い拡大体F(√2)が構成されることはわかりますが,方程式f(x)の根が存在することは代数学の基本定理で明らかであっても,その根がわからない(解けない)状態で体の拡大は行えると考えているのでしょうか(未知数のままの拡大).
　未知数のまま拡大するという意味であれば,分解体の存在定理は当然のことのように見えます.

よろしくお願いします.

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

質問文の末尾が、イイトコを突いている。
体 F 上の代数方程式 f(x)=0 の分解体は、
f(x)=0 の解 x=x1,x2,…,xn によって
F を拡大した F(x1,x2,…,xn) である。

F が、ある代数閉体 L の部分体であれば、
F⊂L, x1,x2,…,xn∈L だから、L の中で
F(x1,x2,…,xn) が定義できる。

解が未知のまま、それに名前をつけて添加した
だけであり、存在は当然っちゃ、当然なんだが、
体の添加拡大には、全体を覆う体 L の存在が
先に必要だし、f(x)=0 が L に解を持つように
L は代数閉体でなければならない。
F=Q なら L=C とすればよいが、
一般の体 F に対して L が見つけられるか？
ということ。ここがボイントかな。

F 係数多項式環 F[X] を f(X) が生成する単項
イデアルで割った商環 F[X]/(f(x)) の分数体が、
具体的に f(x) の分解体と同型だから、
F が一般体の場合は。こっちから攻めれば、
代数閉体 L を探さずに済む。

お礼

早速回答頂き有り難うございました.
根が未知数の状態であっても分解体をともかく見つける理由は,分解体に対応する群が単位群であることから,ガロア群を正規部分群を使って小さくしていき単位群に到達すれば,そこで打ち止めで後は,組成列が可解の条件を満たすかどうかをチェックすればよいというところに分解体の存在意義はあるのではないかと思うのですがどうでしょうか.