基底変換行列

質問

P2(R)、二次式の基底
E={1,1+x,1+2x+x^2},F={1,1-x,1-2x+x^2}
E→Fへの基底変換行列Pを求める問題で、

解答には基底{1,x,x^2}を用いてEとFを行列表示して、それを使って、
Rankを求め、P2(R)の生成系であることを示し、基底変換行列Pを求めていました。

解答に載っているぐらいなので合ってるんでしょうが納得が行きません。
どうして、勝手に置いた基底を用いても良いのでしょうか？
考え方や解説のあるサイトがあったら教えて下さい

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

＞考え方や解説のあるサイトがあったら教えて下さい

まずは教科書やノートをみるのが先．
次に「質問の仕方」を学びなさい．

P2(R)ってなんだ？
二次式の基底ってなんだ？
そもそも，EとFには一次式も定数項も含まれている

>基底{1,x,x^2}を用いてEとFを行列表示して

そんなわけないでしょ
Eは「基底」で，{1,x,x^2}も基底なんだから
Eを「行列表示」なんかできるわけがない
できるのだとしたら「行列表示」とやらの定義が
こちらとあなたとで違うのでしょう？
Fの行列表示関しても同様．

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たぶん，P2(R)ってのは「二次の多項式からなるベクトル空間」なんだろう．
係数体は「R」ってあるから実数体
＃P2(R)なんて書くのは非常識っぽい記法だなあ・・・
＃いきなりでてきたら，二次元の射影空間って思われても仕方がない・・・

＞基底{1,x,x^2}を用いてEとFを行列表示して
＞Rankを求め、P2(R)の生成系であることを示し、
{1,x,x^2}からEもしくはFへの基底変換行列をもとめて
その変換行列のランクが「フル」であることを求め
EとFが基底であることを示し，
さらにその基底変換行列をもちいて
EからFへの基底変換行列を計算したんでしょう？

かりにそうだとしても
そもそも「EとFが基底」とかいってるんなら
それをいちいち証明することはないし，
証明するにしたって，「基底変換」を求めるのに
いちいち別の基底変換をもとめてそれのランクをだすだなんて迂遠なことしないでも
直接EとFが生成系であることと一次独立であることを示せばいい．

基底変換だって基底変換の定義に従って直接求めればいい．
全部教科書に書いてあるはず．
3次元しかないからたいした手間ではない．

勝手な基底を持ち出して計算するのは問題ない
EからFに到達するのに
途中に「標準的な基底」を経由するだけ．
そうすれば，一回の複雑かもしれない計算の変わりに
二回の単純な計算をすればいいことにある．

手法そのものは，イメージ的には
道路を渡るのに，直接いければいいんだけど
車がいっぱいであぶないから
ちょっと離れた横断歩道を使っていくようなもん．
よくやる手法ではある．
「困難は分割せよ」的な方法でもある．